奔驰定理与三角形四心

一、奔驰定理

设点$O$是$\mathrm{\Delta }ABC$所在平面上且与$A,B,C$不重合的一点，若则

​$S_{\mathrm{\Delta }OBC}\cdot \overrightarrow{OA}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}\cdot \overrightarrow{OB}+S_{\mathrm{\Delta }OAB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$​

【推导】​${\displaystyle \frac{AO}{OD}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAB}}{S_{\mathrm{\Delta }OBD}}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAC}}{S_{\mathrm{\Delta }OCD}}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAB}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}}{S_{\mathrm{\Delta }OBC}}}$​

${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABD}}{S_{\mathrm{\Delta }ACD}}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OBD}}{S_{\mathrm{\Delta }OCD}}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABD}–S_{\mathrm{\Delta }OBD}}{S_{\mathrm{\Delta }ACD}–S_{\mathrm{\Delta }OCD}}}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAB}}{S_{\mathrm{\Delta }OAC}}}$​

$\therefore \overrightarrow{AO}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAB}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}}{S_{\mathrm{\Delta }OBC}}}\overrightarrow{OD}，$

​$\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAC}}{S_{\mathrm{\Delta }OAB}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}}}\overrightarrow{OB}+{\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAB}}{S_{\mathrm{\Delta }OAB}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}}}\overrightarrow{OC}$​​．

$\therefore \overrightarrow{AO}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }OAC}\overrightarrow{OB}+S_{\mathrm{\Delta }OAB}\overrightarrow{OC}}{S_{\mathrm{\Delta }OBC}}}$​，

即​$S_{\mathrm{\Delta }OBC}\cdot \overrightarrow{OA}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}\cdot \overrightarrow{OB}+S_{\mathrm{\Delta }OAB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$​

二、三角形四心

奔驰定理$S_{\mathrm{\Delta }OBC}\cdot \overrightarrow{OA}+S_{\mathrm{\Delta }OAC}\cdot \overrightarrow{OB}+S_{\mathrm{\Delta }OAB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$的四种应用：

应用一：$O$为重心时，$S_{\mathrm{\Delta }OBC}:S_{\mathrm{\Delta }OAC}:S_{\mathrm{\Delta }OAB}=1:1:1$
故$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的重心

应用二：$O$为内心时，$S_{\mathrm{\Delta }OBC}:S_{\mathrm{\Delta }OAC}:S_{\mathrm{\Delta }OAB}=({\displaystyle \frac{1}{2}}ar):({\displaystyle \frac{1}{2}}br):({\displaystyle \frac{1}{2}}cr)=a:b:c$
故$a\cdot \overrightarrow{OA}+b\cdot \overrightarrow{OB}+c\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的内心
$\sin A\cdot \overrightarrow{OA}+\sin B\cdot \overrightarrow{OB}+\sin C\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的内心

应用三：$O$为外心时，
$$\begin{array}{l}{S}_{\mathrm{\Delta }OBC}:S_{\mathrm{\Delta }OAC}:S_{\mathrm{\Delta }OAB}\\ =({\displaystyle \frac{1}{2}}{R}^2\sin \mathrm{\angle }BOC):({\displaystyle \frac{1}{2}}{R}^2\sin \mathrm{\angle }AOC):({\displaystyle \frac{1}{2}}{R}^2\sin \mathrm{\angle }AOB)\\ =\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C\end{array}$$

故$\sin 2A\cdot \overrightarrow{OA}+\sin 2B\cdot \overrightarrow{OB}+\sin 2C\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的外心

应用四：$O$为垂心时，
$$\begin{array}{l}{S}_{\mathrm{\Delta }OBC}:S_{\mathrm{\Delta }OAC}=({\displaystyle \frac{1}{2}}OC\cdot BF):({\displaystyle \frac{1}{2}}OC\cdot AF)\\ =BF:AF=({\displaystyle \frac{BF}{CF}}):({\displaystyle \frac{AF}{CF}})=({\displaystyle \frac{1}{\tan B}}):({\displaystyle \frac{1}{\tan A}})=\tan A:\tan B\end{array}$$

故$S_{\mathrm{\Delta }OBC}:S_{\mathrm{\Delta }OAC}:S_{\mathrm{\Delta }OAB}=\tan A:\tan B:\tan C$

故$\tan A\cdot \overrightarrow{OA}+\tan B\cdot \overrightarrow{OB}+\tan C\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的垂心

三、与四心有关的轨迹

【应用一】​$$\begin{gathered} AP为中线，则BP:PC=1:1 \\ （1）\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) \\ \begin{array}{c}（2）\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{AH}{2}}({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{AH}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{AH}})={\displaystyle \frac{AH}{2}}({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{c\sin B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{b\sin C}})\\ =\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\sin B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\sin C}})\end{array} \end{gathered}$$​

【例1】（1）若$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$（$\lambda >0$），则点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的______心．
（2）若​$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\sin B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\sin C}})$​（$\lambda >0$），则点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的______心．

【解析】（1）$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\iff \overrightarrow{AP}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

因此$P$在线段$BC$中线所在直线上，即点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的重心．

（2）$\overrightarrow{AP}=\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\sin B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\sin C}})$

由正弦定理可知$|\overrightarrow{AB}|\sin B=|\overrightarrow{AC}|\sin C$，从而$$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{\lambda }{\left|\overrightarrow{AB}\right|\sin B}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$$

因此$P$在线段$BC$中线所在直线上，即点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的重心．

【应用二】$AP$为角平分线：$BP:PC=c:b$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{b}{b+c}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b+c}}\overrightarrow{AC}={\displaystyle \frac{bc}{b+c}}({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{c}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{b}})\\ =\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}})\end{array}$

【例2】若$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}})$（$\lambda >0$），则点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的______心．

【解析】$\overrightarrow{AP}=\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}})$，${\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}},{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}}$都是单位向量，

因此${\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}}$表示菱形的对角线，从而点$P$在$\mathrm{\angle }BAC$的平分线上

即点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的_内心．

【应用三】$AP$为高：$BP:PC=\tan C:\tan B$
$\begin{array}{c}\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{\tan B}{\tan B+\tan C}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{\tan C}{\tan B+\tan C}}\overrightarrow{AC}\\ ={\displaystyle \frac{1}{\tan B+\tan C}}({\displaystyle \frac{\sin B}{\cos B}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{\sin C}{\cos C}}\overrightarrow{AC})\end{array}$
$={\displaystyle \frac{bc}{2R(\tan B+\tan C)}}({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{c\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{b\cos C}})=\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})$

【例3】（1）若$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})$（$\lambda >0$），则点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的______心．
（2）若$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}}+\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})$（$\lambda >0$），则点$P$一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的______心．

【解析】（1）注意到$\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B,\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C$都是向量的投影，如果分子为数量积，则可约分

于是，两边同“乘”一个向量，根据$B,C$为向量夹角可知，应同“乘”$\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})\iff \overrightarrow{AP}=\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{AP}\bullet \overrightarrow{BC}=\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}\bullet \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})\\ =\lambda ({\displaystyle \frac{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cos (\pi –B)}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cos C}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})\\ =\lambda (–|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{BC})=0\end{array}$

故$\overrightarrow{OP}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BC}$，即$P$在$BC$边高所在直线上

从而点$P$的轨迹一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的垂心

（2）$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}=+\lambda ({\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos B}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos C}})$

同（1）可得$(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP})\bullet \overrightarrow{BC}=0$，设$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}=\mu \overrightarrow{PD}$，则$\overrightarrow{PD}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BC}$

即$PD$为线段$BC$的垂直平分线

从而点$P$一定通过$\mathrm{\Delta }ABC$的外心

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