2019高考100题之057(三角函数4)

  分析：

      因为α、β为锐角，由sinα=√5/5，sinβ=√10/10，

       可求得cosα=2√5/5，tanα=1/2，cosβ=3√10/10，tanβ=1/3.

       想求α+β，我们可以求sin(α+β)，cos(α+β)，tan(α+β)中的一个.

      可以求得sin(α+β)=√2/2，cos(α+β)=√2/2，tan(α+β)=1.

       由0<α+β<π，可知如果选择的是cos(α+β)或tan(α+β)，我们可以直接说明α+β=π/4.

       但是如果选择的是sin(α+β)，就会在π/4和3π/4中抉择，由sinα<√2/2，sinβ<√2/2，可得α<π/4，β<π/4，所以α+β<π/2，所以α+β=π/4.

      所以做这类题之前的选择很重要，选择合适，就可以减少进一步缩小角的范围的步骤.

       有的同学求完 sin(α+β)之后，就直接下结论α+β等于π/4或3π/4，这就很过分了，由题可知α和β都是唯一存在的，加一起也不会出现两个值呀，又不是细胞分裂.

       但是把题稍微改成下面这样，犯这个错误的人数就会大增.

       已知0<α<π，0<β<π，且tanα和tanβ是二次方程6x²-5x+1=0的两个根，求α+β.

       由韦达定理可以求出tan(α+β)=1，然后由 0<α+β<2π，很多同学可能就会写出α+β= π/4或5π/4，而没有舍掉5π/4.其实由韦达定理可知tanα和tanβ都是正数，当然也可以不用韦达定理直接解出tanα和tanβ，所以题干中给的范围是具有欺骗性的.

       上题用图形表示如下：

       三角形ABC中，CD为高，AD=2，BD=3，CD=1，求A+B.

     现在你当然知道用两角和的正切公式求A+B，可是下面这道题你会这么做吗？

       很多同学都会利用三次余弦定理，然后算的稀里糊涂的，不是说利用余弦定理不对，而是说这道题显然就是上面那道简单题的翻版，只是缺少了一条高线，你作出高线就可以了.

       所以说我们不要看不起简单题，把简单题做对了，然后简单题换个马甲也会做了就成功了.