当然,如果学生没有掌握相关知识点,将仍然无法顺利做出来。此题考查了圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等。下面,我们就一起来看这道例题吧! 例题:(初中数学综合题)如图,已知AB和CD为⊙O的直径,AB⊥CD,点E为CD上一点,CE=CA,延长AE交⊙O于点F,连接CF交AB于点G. (1)求证:CE2=AE*AF; (2)求证:∠ACF=3∠BAF; (3)若FG=2,求AE的长. 分析:大家想要正确解答一道数学题,必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路: (1)将结论变形可以得到线段比例式,由此想到可能需要证明三角形相似。先判断出∠ACE=∠AFC,进而判断出△ACE∽△AFC,得出AC2=AE*AF,再由CE=AC,即可得出结论; (2)由于△AOC是等腰直角三角形,结合△ACE是等腰三角形,于是可以求出相关角的度数。先求出∠CAE=∠CEA=67.5°,进而求出∠BAF=22.5°,即可得出结论; (3)过点G作GH⊥CF交AF于H,可以推出AH=HG=2,再求出FH,GH,最后判断出EF=FG,通过线段的相加减,即可得出结论. 解答:(以下的过程仅供参考,部分过程进行了精简,并且可能还有其他不同的解题方法) (1)证明:∵AB和CD为⊙O的直径,AB⊥CD, ∴弧AC=弧AD, ∴∠ACE=∠AFC,(等弧所对的圆周角相等) 又∵∠CAE=∠FAC, ∴△ACE∽△AFC, ∴AC/AF=AE/AC, ∴AC2=AE*AF, ∵AC=CE, ∴CE2=AE*AF; (2)证明:∵AB⊥CD, ∴∠AOC=90°, ∵OA=OC,(都为圆的半径) ∴∠ACE=∠OAC=45°, ∵AC=CE, ∴∠CAE=∠AEC=1/2(180°-∠ACO)=67.5°, ∴∠BAF=∠CAF-∠OAC=22.5°, ∵∠AFC=1/2∠AOC=45°,(圆周角定理) ∠AEC=∠AFC+∠DCF=45°+∠DCF=67.5°, ∴∠DCF=22.5°, ∴∠ACF=∠OCA+∠DAF=67.5°, ∵∠BAF=22.5°(已证) ∴∠ACF==3∠BAF; (3)如图,过点G作GH⊥CF交AF于H, ∴∠FGH=90°, ∵在△FGH中,∠GFH=45°, ∴∠FHG=45°, ∴HG=FG=2, ∴FH=2√2,(通过勾股定理计算) ∵∠BAF=22.5°,∠FHG=45°, ∴∠AGH=∠FHG-∠BAF=22.5°=∠BAF, ∴AH=HG=2, ∴AF=AH+FH=2+2√2, 由(2)知,∠OAE=∠OCG, ∵∠AOE=∠COG=90°,OA=OC, ∴△AOE≌△COG(SAS), ∴OE=OG,∠AEO=∠CGO, ∴∠OEF=∠OGF,(等角的补角相等) 连接EG, ∵OE=OG, ∴∠OEG=∠OGE=45°, ∴∠FEG=∠FGE,(等量代换) ∴EF=FG=2, ∴AE=AF-EF =2+2√2 -2 =2√2. (完毕) 这道题主要考查了圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等,题目具有较强的综合性,构造等腰直角三角形FGH是解题的关键。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。 |
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