【原】y=(1+x)^(1/x)的性质(三)

8、证明不等式：

已知：（0＜x＜1）f(x)=(1+x)^1/x，g(x)=[(4-e)x+e]/(x+1).

证明：f(x)＞g(x)（0＜x＜1）

证：设 y=f(x)/g(x)，(0＜x＜1)。

lny=(1/x)ln(1+x)+ln(x+1)-ln[(4-e)x+e]

y′/y=(-1/x²)[ln(1+x)-x/(1+x)]+1/(1+x)-(4-e)/[(4-e)x+e]

xy′/y=e/[(4-e)x+e]-(1/x)ln(1+x)（y′只有一个零点）（0＜x＜1）

y(0)=y(1)=1、y′(0)=3/2-4/e≈0.02848、y′(1)=e/4-ln2≈-0.01358

故y＞1得证。