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线段动点问题（专题一）     解法一：    解法二：  【解析】 连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM=1/2PQ，CM=1/2PQ，则OM=CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解. 【点评】 本题考查了轨迹:通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹.也考查了等腰直角三角形的性质.    【解析】 (1)根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得:∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，得出∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCE，即可得出结论； (2)过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F.由△ACD≌△BCE，推出∠CBE=∠A=60°，推出点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知:当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，利用勾股定理求出CF即可. 【点评】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键. 【解析】 (1)先判断出∠A=∠ABC，进而判断出∠ABC=∠ACE，即可得出△AEC~△ACB，即可得出结论； (2)先判断出∠PBN+∠OBN=90°，进而得出∠PBN=∠COB，再判断出∠PEB=∠COB，即可得出结论； (3)先判定△OCB为等边三角形，进而判断出当P、Q、O三点共线时，PQ最小，再判断出△PBE是等边三角形，利用勾股定理求出AB=2BN=4√3，BE=PB=8√3/3，即可得出PQ= (4√21/3)-4. 【点评】 此题圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，利用勾股定理求出AE是解本题的关键. 【点评】 本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型. 【点评】 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及最值问题；熟练掌握平行四边形的性质与特殊直角三角形的性质. 【解析】 如图，取AB的中点E，连接CE，PE.由△QBC≌△PBE(SAS)，推出QC=PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小. 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键:是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题. 【解析】 取BC的中点，连接MG，根据等边三角形的性质和旋转可以证明△MBG≌△NBH，可得MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段HN长度的最小值. 【点评】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点. 【点评】 本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题. 【解析】 根据抛物线y=1/9x²-1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C(0，4)为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小. 【点评】 本题考查了点与圆的位置关系、抛物线与x轴的交点、三角形中位线定理，解决本题的关键是点B、D、C共线问题. |
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