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二次函数 【A级能力训练】   【解析】 由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论. 【点评】 本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.   【解析】 由题意抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点A,令x=0,求出A点坐标，又与x轴的正半轴交于B、C两点，判断出C的符号，将其转化为方程的两个根，再根据S△ABC=3，求出b值. 【点评】 此题主要考查抛物线与x轴的交点和三角形的面积公式，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题.   【解析】 由图象可知:抛物线的顶点坐标为(1，-1)，且抛物线过(0，0)和(2，0)两点，可用待定系数法求出抛物线的解析式；进而可将y=3代入抛物线的解析式中，求得x的值.根据函数的图象即可求得y>0时，x的取值范围. 【点评】 正确观察图象，能够正确利用待定系数法求解析式，能够把数的关系与图形的位置相联系，数形结合是本题训练的目的.   【解析】 设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c(a≠0)，由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为(1，0)或(-1，0)，然后分别把(0，0)、(1，0)、(-1/2，-1/4)或(0，0)、(1，0)、(-1/2，-1/4)代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式. 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:先设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c(a≠0)，然后把二次函数图象上三个点的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式，也考查了分类讨论思想的运用.    【解析】 根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象. 【点评】 考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为:二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下. 【解析】 由题目条件可知对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C，把x=0代入可求得y=c，可判断D，则可得出答案. 【点评】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键，注意对称性的应用. 【解析】 抛物线y=ax²+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，可得对称轴为y轴，b=0，方程ax²+bx+c=0的两根为c与-c，即可得出答案. 【点评】 本题考查了二次函数与系数的关系，属于基础题，关键是根据已知条件结合二次函数与系数的关系进行求解. 【解析】 假设抛物线方程为: y=ax²+bx+c根据图形，我们建立坐标轴，那么抛物线过:(-4，0)(4，0)、(-3，4)、(3，4)这四个坐标.则利用这四个点坐标直接代到抛物线方程可以求c，而这个c刚好就是我们要求的那个高了. 【点评】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题. 【解析】 (1)依题意得抛物线顶点E(4，3)，经过D(0，5/3)，这顶点式，可求抛物线解析式； (2)过C点作x轴的垂线，垂足为F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的长，从而可得点C的坐标，判断点C是否满足抛物线解析式. 【点评】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题. 【解析】 (1)由△ABC为正三角形，推出∠A=∠C，∠3+∠1=120°，再由∠BDE=60°，推出∠3+∠2=120°，求得∠1=∠2，即可推出△DEC~△BDA； (2)由相似三角形的性质推出比例式CD/AB=EC/AD然后根据图形推出AD=AC-CD，EC=BC-BE，根据正三角形的边长为6，并设DC=x，BE=y，即可推出x/6=(6-y)/(6-x)，通过整理得x与y的函数关系式:y=1/6x²-x+6； (3)利用(2)中的函数关系式求得当BE最短时(即y取最小值时)所对应的x的值，由此可以确定点D的位置，然后由三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方求得△ABD和△CDE的面积，结合图形易得△BDE的面积. 【点评】 本题主要考查等边三角形的性质，平角的定义，相似三角形的判定与性质，关键在于通过对应角相等推出相关的三角形相似，正确地求出关于x与y的比例式，认真地进行计算. 【解析】 (1)根据题意，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E；根据相似三角形的性质，可得BE、OE的值，进而可得B点的坐标； (2)先设抛物线为y=ax²+bx+c，将ABC的坐标代入可得三元一次方程组，解即可得abc的值，即可得抛物线的解析式； (3)根据题意设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，易得AB//x轴；分析可得点P的纵坐标只能是0或4；分情况代入数据可得答案. 【点评】 本题考查学生数形结合处理问题、解决问题的能力. 【解析】 (1)待定系数法分别求解可得； (2)根据题意可设点P的坐标是(t，t-3)，则M(t，t²-2t-3)，继而可得PM=(t-3)-(t²-2t-3)=-(t-3/2)²+9/4，知PM最大值为9/4，根据S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案； (3)由PM//OB，可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，据此可分以下三种情况:①当P在第四象限；②当P在第一象限；③当P在第三象限；由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得. 【点评】 本题考查了二次函数的综合题:先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值.同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法. |
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