概率与排列&组合

1.概述：

概率是介于0至1之间的小数或分数（1是必然概率，0是不可能概率）。

排列组合是大于或等于1的结果，通常它们的结果相当大。

 

2.概率

关于概率，一个经验法则是，先判断面对的是“和”情况还是“或”情况。

“和”情况，意味着相乘，“或”情况，意味着相加。

进一步，如果一个概率情况是相乘，还要进一步考虑“它们是独立事件还是相关事件”，独立是指两个事件互不影响；不独立是指一个事件的发生会影响另一个事件的发生，这种情况必须考虑进去。

同样，如果一个概率情况是相加，还要进一步考虑“它们是互斥事件还是非互斥事件”，互斥是指两个事件不可能同时发生，不会出现重复；非互斥是指两个事件可能同时发生，因而出现重复，这种情况需要考虑重复部分不能计算两次。

3.概率流程图

4.排列&组合

排列是有序集合，组合是无序集合。

顺序影响排列，但不影响组合。

在实际应用中，通常“安排”或“可能性”等词语暗示排列，“选取”或“选择”等词语暗示组合。

 

5.阶乘

阶乘是指用以下方式进行乘法运算：

例如：4！=4×3×2×1；

0的阶乘等于1，1的阶乘也等于1。

6.排列&组合流程图

 

7.基本概率公式

（1）通用公式

例1：一共卖出了10000张抽奖券，只有1张中奖，你买了3张，那么你中将的概率是多少？

答1：

（2）特殊乘法法则

A和B的概率等于A的概率乘以B的概率。

如果两个事件相互独立，只需将它们各自的概率相乘。

例2：投掷硬币2次，第1次和第2次都是正面朝上概率是多少？

答2：

（3）通用乘法法则

假设事件A已经发生，A和B的概率等于A的概率乘以B的概率。

如果两个事件不相互独立，我们必须在第一个事件造成的影响的基础上，调整第二个事件发生的概率。

例3：一个袋子里有6颗弹珠，3颗蓝色，3颗绿色，先后从袋子里取出两颗绿色弹珠的概率是多少？

答3：

例4：从一副扑克牌中随机抽取4张（纸牌依次抽取，不放回），那抽到4张A的概率是多少？

答4：

依次抽取，不放回，这样会影响下一张被选纸牌的概率，这是概率通用法则的典型应用。

第一次抽取，抽到A的概率是4/52，第二次抽取，抽到A的概率是3/51，因为可选的纸牌A少了一张，总纸牌也少了一张，依此类推。

例5：一个袋子里有5颗弹珠，2颗红色，3颗蓝色，如果从袋子里取出2颗弹珠，第一颗是红色且第二颗是蓝色的概率是多少？

答5：这道题也是用通用乘法法则解答，题目中使用了“且”这个词，提示我们要将概率相乘。选中第一颗红色弹珠会影响选中第一颗蓝色弹珠的概率，因为备选弹珠少了一颗。

（4）特殊加法法则

A或B的概率等于A的概率加B的概率。

如果两个事件互斥，只需将它们各自的概率相加。

例6：小明去清华的概率是20%，去北大的概率是30%，那么，小明去清华或北大的概率是多少？

答6：

去清华或去北大，这两个大学的选择是互斥的。

（5）通用加法法则

A或B的概率等于A的概率加B的概率，再减去A和B的概率。

减去重复部分是因为不能计算两次。两个事件重复时，肯定包含相同内容，因此必须减去一次，避免重复计算。

例7：明天下雨的概率是30%，刮风的概率是20%，那么明天下雨或刮风的概率是多少？

答7：

明天既可以下雨又刮风，这两个事件不是互斥的，因此，要减去重复的部分。

例8：小明期末考试要考两门课程，他通过第一门课程的概率是3/4，通过第二门课程的概率是2/3，那小明通过第一门或第二门课程的概率是多少？

答8：

题目中使用了“或”，提示概率应该相加。通过第一门课程和通过第二门课程为非互斥事件，应该减去这两个事件之间的重复部分。

例9：第一次掷骰子或第二次掷骰子，掷出6的概率是多少？

答9：

题目中使用了“或”，提示概率应该相加。两次掷骰子为非互斥事件，应该减去这两个事件之间的重复部分。

（6）互补法则

A发生的概率等于1减去A不发生的概率。

计算一个事件发生的概率，我们可以计算该事件不发生的概率，再用1减去该结果。

例10：掷一对骰子，不掷出两个6的概率是多少？

答10：

掷出两个6的概率是

不掷出两个6的概率是

例11：一个袋子里有5颗弹珠，2颗红色，3颗蓝色，如果从袋子里取出2颗弹珠，至少有一颗为红色的概率是多少？

答11：

方法一：这道题可以运用概率的互补法则。

题目中“至少有一颗为红色”是指除了两颗都是蓝色的情况，其他情况都可以，那么可以先算出两颗都是蓝色的概率：

那拿到至少一颗是红色弹珠的概率等于1减去拿到两颗蓝色弹珠的概率：

方法二：直接法，写出所有概率，然后把我们要求的概率相加。

随机选取两颗弹珠会有四种可能情况，其中三种情况会出现至少一颗红色弹珠。

红色、蓝色：

蓝色、红色：

红色、红色：

蓝色、蓝色：

概率的总和为1。

那至少一颗红色弹珠的概率为

例12：小明期末考试要考三门课程，他通过第一门课程的概率是3/4，通过第二门课程的概率是2/3，通过第三门课程的概率是1/2，那小明通过至少一门课程的概率是多少？

答12：

方法一：这道题可以运用概率的互补法则。

先算出三门考试都不及格的概率。

未通过第一门课程的概率为

未通过第二门课程的概率为

未通过第三门课程的概率为

三门课程考试都未通过的概率为

那至少通过一门课程考试的概率为

方法二：直接法，写出所有概率，然后把我们要求的概率相加。

通过第一门课程但未通过第二门和第三门课程的概率为

通过第二门课程但未通过第一门和第三门课程的概率为

通过第三门课程但未通过第一门和第二门课程的概率为

通过第一门课程和第二门课程但未通过第三门课程的概率为

通过第一门课程和第三门课程但未通过第二门课程的概率为

通过第二门课程和第三门课程但未通过第一门课程的概率为

三门课程全部通过的概率为

三门课程全部没有通过的概率为

那至少通过一门课程考试的概率为

（7）枚举法则

如果做第一件事有X种方法，做第二件事有Y种方法，做第三件事有Z种方法，那么做这些事情的总方法数为X×Y×Z种。这是枚举的一般法则。

在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，从而得出一般结论，那么这个结论是可靠的，这个归纳方法叫枚举法。

严格来说，枚举法不属于概率与排列&组合的范畴。但是在实际应用中，常放在一起讨论。

例13：A餐厅为顾客提供了一份菜单，每一类可以选一份：2种不同的沙拉，3种不同的汤，5种不同的主食，3种不同的甜点，那顾客选餐的方式有多少种可能性？

答13：

8.基本排列公式

（1）排列：不放回抽样

其中，n=项目总数，r=排列的项目数

例14：假设同一字母在任何特定编码中出现不超过一次，则A、B、C、D四个字母可以组成多少个双字母编码？

答14：

例15：4名运动员分别代表4个不同的国家参加比赛，假设所有运动员取胜的机会相等，那第一名和第二名奖牌的办法有多少种可能？

答15：

这是一道排列题，不是组合题。在排列题中，顺序有影响。

A国家赢得第一名、B国家赢得第二名和B国家赢得第一名、A国家赢得第二名的情况是不相同的。

（2）排列：所有项目全部选取时的快捷公式

例16：把4本不同的书摆放在书架上，有多少种摆法？

答16：

例17：6名学生肩并肩坐成一排参加考试，他们有多少种坐法？

答17：

这是一道排列题，适用于快捷公式n！。因为我们需要用到集合n的所有成员，而不是集合n的子集。

 

（3）排列：放回抽样

放回抽样的排列，严格来说，归属枚举法则的范畴。

例18：假设同一个数字在任何特定编码中出现不超过一次，则数字1、2、3、4可以组成多少个四位数编码？

答18：

 

9.基本组合公式

其中，n=项目总数，r=选择的项目数

例19：从4种颜色中选取3种，有多少种选法？

答19：

例20：如果11个人重逢，每个人都与其他人一一握手，总握手次数是多少？

答20：

这道题看起来很复杂，其实是典型的组合范例，因为顺序不影响。

 

10.附加公式

（1）联合排列

例21：小明计划去北京5个景点中的3个景点旅游，再去天津4个景点中的2个景点旅游，那小明可能有多少种路线？

答21：

将结果相乘，而不是相加，与枚举法给出的方法一致。

 

例22：6名学生，3个男孩和3个女孩，肩并肩坐成一排菜价考试，假设男孩与男孩不能相邻，且女孩与女孩不能相邻，那么他们有多少种坐法？

答22：

这实际上是一道联合排列题，算出两个单独的概率后再把结果相加。

女孩和男孩的考试座次安排有两种可能。

第一种场景：第一、三、五个座位坐男孩，第二、四、六个座位坐女孩。

第二种场景：第一、三、五个座位坐女孩，第二、四、六个座位坐男孩。

对于第一种场景，第一个座位可能坐3个男孩中的任一个，第二个座位可能坐3个女孩中的任一个，第三个座位可能坐剩下的2个男孩中的任一个，第四个座位可能坐剩下的2个女孩中的任一个，第五个座位坐最后一个男孩，第六个座位坐最后一个女孩。

对于第二种场景，第一个座位可能坐3个女孩中的任一个，第二个座位可能坐3个男孩中的任一个，第三个座位可能坐剩下的2个女孩中的任一个，第四个座位可能坐剩下的2个男孩中的任一个，第五个座位坐最后一个女孩，第六个座位坐最后一个男孩。

因此，

（2）联合组合

例23：要从5名网球选手和5名羽毛球选手中各选出3个人组成一个小组，那可能有多少种小组？

答23：

例24：一场演出中，一位歌手要演唱6首“老歌”中的4首和5首“新歌”中的2首，那这位歌手有多少种选择方式？

答24：

解联合组合题要把两个单独的组合结果相乘，这道题要分解成“老歌”和“新歌”两项。

 

（3）有重复数字或字母的排列

其中，x、y、z指重复的数字或字母。

例25：用四个数字0、0、1、2可以组成多少种不同的四位数编码？

答25：

2!指的是重复的两个数字0。

 

例26：用单词BANANA的六个字母组成的编码有多少种？

答26：

这道题突出了“重复数字（字母）”的处理。

例27：一个餐桌有5把椅子，3个人就座，剩下两把空椅子，有多少种坐法？

答27：

这道题涉及到棘手的“空椅子”问题的处理。在排列理论中，“空椅子”与“相同数字”类似，想象这两把空椅子代表两位相同的人。