24年新高考新增重要考点

      24年之前属于高考模式的过渡阶段，在概率统计部分新增了对于全概率公式和贝叶斯公式的考察。这是由于高中数学就是为大学数学甚至是相关专业课打基础的，而全概率公式和贝叶斯公式在计算机学科，特别是密码学，人工智能，量子物理中，以及投资学中有非常广泛的运用。所以概率统计作为高考数学的大题进行重点考察，而全概率公式和贝叶斯公式又是考察的重点。

回顾重要基础

      数学这门学科有很强的连贯性，要理清全概率公式和贝叶斯公式的，必须以掌握条件概率公式为前提，我们先回顾一下条件概率。

条件概率

     条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。

P(A|B)=P（AB)/P（B）

从两个不同角度进行理解

• 从代数的角度上观察：在B发生的基础上，A发生的概率。那么B发生是基础的条件，B已经发生，再看A发生的概率是多少，那么分子A和B同时发生，分母就是B发生的概率。

• 从几何的角度上观察：这里A在B发生的基础上发生的概率是A和B交集的阴影部分面积占用B的比例。

推论：那么由条件概率出发，很容易通过代数运算推导出以下公式（乘法定理）：

P（AB）=P(A)·P(B|A)-P(B) ·P(AB)

      那么这个公式代表的意义又是什么呢？不能仅仅通过代数运算获得相关公式，而是要理解其相关含义，才能更好的理解概率知识！

      其意义就是：AB同时发生的概率是在A基础上发生日的概率乘以A本身在外部发生的概率，也是B基础上发生A的概率乘以B本身在外部发生的概率。

例题：一批工件有100件产品，其中有10件是次品，现依次不放回取出每次仅取一件，求第n次才取到正品的概率。

P(A)=P(A1A2...An-1An)=P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1A2)·P(An-1|An-2 ...A1A2)·P(An | A1A2...An-1)

由此可以看出，概率很容易与数列进行结合在解答题中出现。

全概率公式

      全概率公式：设事件L1，L2···是一个完备事件组，则对于任意一个事件C，若有如下公式成立，则称为全概率公式。

全概率公式的意义在于：若P(C)直接求出比较困难，且P(Ln)，P(C|Ln)计算较为简单时，可以利用全概率公式求P(C)

      例1：一家工厂在某天安排的生产计划是生产甲、乙、丙三种型号的ECU产品，其中甲占35%，乙占15%，丙占%5，甲、乙、丙三种产品的次品率分别为6%，5%，%4，现在随机抽取一产品，求是次品的概率？

解：A1、A2、A3表示抽到的产品为甲、乙、丙三种产品；B表示抽到的产品为次品。则利用全概率公式可得：

P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)带入可求其结果。

需要注意的是：B发生时，要么A1发生，要么A2发生要么A3发生。A1、A2、A3是互斥的（只抽1件）。思考一下：若一次抽三件呢？该如何求其概率？

贝叶斯公式

      贝叶斯公式（贝叶斯法则）：事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；这两者又是有确定的关系，贝叶斯法则就是这种关系的陈述。

贝叶斯公式：

贝叶斯法则是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的。

一个重要的目的:

已知项目C条件下项目L的发生概率，可以将将P(L|C)转换为 P(C|L);

术语概念：

P(L|C)是在C发生的情况下A发生的可能性。Lk成为完备事件组。

Pr(L)是L的先验概率或边缘概率。称为'先验'是因为不考虑C方面的因素。

Pr(L|C)是已知C发生后L的条件概率，被称作L的后验概率。

Pr(C|L)是已知L发生后C的条件概率，被称作C的后验概率。

Pr(C)是C的先验概率或边缘概率，也作标准化常量。

     例2：一家工厂在某天安排的生产计划是生产甲、乙、丙三种型号的ECU产品，其中甲占35%，乙占15%，丙占%5，三种产品的次品率分别为6%，5%，%4，现在已知所抽的产品为次品，求所抽产品为甲、乙、丙的概率？

解：抽到甲的概率为P(A1|B)=P(A1B)/P(B),以此可以得到乙和丙的概率。P(B)通过例1已经求的

通过例1和例2我们总结一下全概率和贝叶斯的相关区别。

命题陷阱：人们往往通过先验经验做出判断，支持某项属性的事件发生得愈多，特别是近期出现的越多，则该属性成立的可能性就愈大，在这点上也是命题人易出的陷阱的地方。

全概与贝叶斯的区别

       通过上文中的例1和例2，我们很容易总结出一下区别：      

      全概率为了获得某个结果，可以采取多种方式（当然每种方式对结果有不同的影响），问可以获得该结果的概率是多少。即由因取果。

      贝叶斯公式就是已知结果，问可以产生这个结果的各种方式的可能性是多少？即执果索因