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笔者曾经在《数学文化》（2017年第2期）杂志上写过一篇介绍邻国日本的数学出版物的文章，虽然在那篇文章中也列举了一些数学文化方面的读物，但是它的介绍重点放在了日本书店中正在销售的各种现代数学的专业书籍上。本文的目的则是进一步补充介绍近年来日本出版的一部分数学文化科普类读物。 去年11月份笔者再次来到东京，继续考察书店里销售的数学出版物，并且还参观了东京的一家社区图书馆，收获满满。秋日的东京，气温宜人，大街上的人们行色匆匆，城市生活的一切都显得井井有条。各大书店里人气旺盛，密集的书架上陈列着各个学科数量极其丰富、印刷极其精美的高质量日语图书，让人眼花缭乱、目不暇接。 数学文化对于大学数学教育、对公众进行数学传播以及人类文明的建设有着极大的帮助作用。数学是我们人类文化遗产的一部分，同时它也是科学技术的基础，现代数学的宝库中珍藏着无数琳琅满目的瑰宝。然而数学又与其他学科知识不同，它极为特殊，表面看来十分抽象、艰深、甚至冷漠，令大多数的人们不得其门而入。数学文化传播与数学写作的任务是努力揭开数学神秘的面纱，尽可能地展示数学鲜为人知的一面，包括其生动的灵感、无穷的想象力、深刻的思想和惊人的发现，特别是一种数学特有的震撼人心的美。 日本的数学家们用日语写了数量极多的数学阐释性文章和各种数学文化方面的书籍，尤其是数学各个方向的入门科普书。下面我们分数学研究生、数学本科生和一般读者这三个层次分别介绍目前书店里销售的各种数学文化类读物。 一、以数学研究生为主要对象的杂志及入门读物正如陈省身先生所说，“数学是一门活的学问”，它可以说每时每刻都在发展。因此就需要不断地及时整理已有的研究成果，并在此基础上写出综述文章，以指导后续的研究。研究生们作为新手数学家，在开始研究之前必须要了解相关领域的研究现状，这时就很需要阅读综述性文章。此外在现代数学日趋统一与交叉发展的今天，综述性文章对于数学家与研究生们了解不同专业方向的进展，也是十分重要的。 在日本，就有一本专门刊登现代数学的各领域研究现状综述文章的日语杂志《数学》，这是一份由日本数学会主编的每期只有一百多页的季刊。《数学》每期包含了四至五篇综述性文章、三本新出版的日语或英语数学专著的书评、以及日本数学界的一些新闻。所有的综述文章均由相关研究方向里最强的日本数学家来撰写，并且在文章的后面还附有该方向的几十篇最新或最基本的参考文献。 图1：2019年第4期《数学》杂志 笔者在书店里看到的最新一期《数学》杂志（2019年第4期）里，就分别有关于Navier-Stokes方程的边界层、3维流形的上同调不变量的计算、流体力学中的涡流、以及表示论的分歧理论等四篇研究综述文章，还有《岩泽理论及其展望（上、下）》、《伽罗瓦表示与模》（英语）、《向后随机微分方程》（英语）这三部新专著的书评文章，以及几则数学会的新闻：其中就包括日本数学会在2019年度里授予十几位日本数学家研究工作的三个奖项的介绍、最近一次数学史学术会议全部的交流论文题目、以及2018年度在全日本召开的所有近两百个数学各专业学术会议的主题等信息的详细列表等内容 这样的只登研究综述文章的杂志能让日本的数学家和数学研究生们更加全面地了解现代数学的最新发展状况，有效避免“见树不见林”的问题，所以不能不佩服日本老一辈数学家在创刊这份杂志时的远见。《数学》杂志从1947年创刊至今，已经有了近三百多期了，其中总共将近上千篇的综述文章也成为了20世纪现代数学辉煌发展历史的忠实记录与珍贵的研究史料。由此我们不难理解为什么日本数学家们的数学研究方向能够紧贴主流前沿，并且研究的范围也比较全面。 笔者在书店里还看到几种反映现代数学最新研究动态综述文章的文集，从中可以了解日本数学家感兴趣的研究方向。例如在由数学家小川卓克、斋藤毅、中岛启编的文集：
中，12位日本数学家对自己擅长领域的现状和未来发展作了长篇综述。这些综述文章的题目及作者分别是： ❝ 图2：《日本的现代数学——以新的发展为目标》 书店里还有一套5卷的数学家文集：
它翻译自美国数学会出版社在2000年出版的一本数学家文集《Mathematics : Frontiers and Perspectives》。“最先端”的意思是“最前沿”，该文集的主编是著名数学家V.Arnold，他邀请了近30位世界顶尖的数学家来对世纪之交的相关数学领域的现状及未来发展给出综述。由于英文版原著的内容十分充实，日语版又加上了对每位数学家生平与数学贡献的详细介绍，所以就增加了篇幅，因此日语版按照不同的研究领域将英文原著拆分编成了5卷文集。下面列出了这些文集中部分文章的标题及作者： ❝ 如果说上面的《数学》杂志主要服务于数学的科研，那么另一本受到数学研究生青睐的日语杂志《数理科学》则基本上就是服务于研究生的数学教学。《数理科学》是一本每期只有100页的月刊，主要介绍现代数学与现代物理各主要分支的基本思想、内容及其发展趋势，其中数学与物理各占一半的份量。和《数学》杂志一样，《数理科学》也是一份不刊登数学论文的数学杂志，它只刊登现代数学和现代物理的阐释性文章。《数理科学》每期都设立一个数学（或物理学）的主题（其中每年平均有6期讲数学，6期讲物理），然后邀请一位精通此主题的资深数学家（或物理学家）担任主编，由这位主编来向几位数学家（或物理学家）约稿写阐释性文章，主编审完了这些稿件后再写一篇相关的引言放在每一期的最前面。例如笔者在书店看到《数理科学》的最新一期（2019年第12期）的主题是“素数的探究：它的扩展与深化”，该期的内容主要包含了以下八篇数论方面的阐释性文章： ❝ 图3：2019年第12期《数理科学》 20世纪是数学发展的黄金时代，许多重大问题得到解决或取得了突破性的进展，同时也涌现了大量的新分支学科与研究方向。但是由此带来的问题是新一代的数学家要想在此基础上作出贡献，就变得十分的困难，此时就需要让研究生们充分了解在抽象与艰深的现代数学的外表背后隐藏的思想。阐释性文章的任务是从数学历史发展的角度出发，尽量通俗而又准确地介绍现代数学各个主要分支学科的基本内容、思想方法及应用，培养对现代数学各领域的广泛兴趣。这种介绍不是随意和零散孤立的，而应该是全面和有系统地来进行，创刊半个多世纪的《数理科学》杂志就是在做这样的重要工作。 书店里不仅有最新一期的《数理科学》，还有最近十年来的近百本过期的《数理科学》杂志在销售。同时《数理科学》杂志的编辑部在多年前也出过几本增刊（它们被称为“临时别册”），将更早些年份里发表过的具有相似主题的精彩文章汇集在一起，以便于读者学习与参考。笔者这次在书店里看到了几本增刊，例如有《代数学的魅力》和《现代几何学的进展》等，另外笔者还托朋友在日本的网上买到了一本增刊《20世纪的数学》。下面列出笔者从《数理科学》的这些过刊和增刊里摘录的部分文章的标题，并且按照现代数学的六个领域将这些文章标题整理在一起，其中在每个标题后面的括号“(年份:期数)”表示文章所在的位置。 “ 从以上这些文章的标题中可以初步看到《数理科学》杂志所包含的极为丰富的内容，它们都是数学专业的研究生们急切想了解的。《数理科学》杂志创刊以来发表过的介绍数学各分支学科内容的上千篇阐释性文章大多是不会过时的，相反它们还具有很高的学习与保存价值。（国内的北京国家图书馆长期订阅了《数学》和《数理科学》这两份日语杂志，直至今日。上海图书馆也曾经长期订阅了《数学》与《数理科学》这两份杂志，只是从1997年和2016年起上海图书馆分别停止订阅前后这两份杂志）。 当然上面这些文章并没有完全覆盖现代数学的全部领域与研究方向。如果研究生们想要了解更多的现代数学的各个分支领域，那么首选的权威出版物是2007年由日本数学会重新编写的
它只用一卷的篇幅在最大程度上完整表现了整个20世纪现代数学的发展与现状，特别是在20世纪最后30年里现代数学所取得的巨大成就。由于现代数学的发展实在太快了，一般的数学百科全书与辞典类的工具书由于来不及吸收20世纪后30年里形成的新分支学科，就显得用处不是很大。与此相反，通过及时吸收和整理现代数学的新成就，《岩波数学辞典》（第4版）让日本的数学家和青年数学学子们得到了极大的实惠，他们通过这本辞典可以顺利找到现代数学各个主要分支学科的发展脉络、全面而又崭新的知识体系框架和当前的学科现状，尤其是十分完备的基本参考文献（参考文献绝大多数都是英语文献），这样就可以避免弯路，全方位地投身到现代数学的学习与研究中去。笔者从一本专门介绍日本数学家推荐的阅读书目的书《数学家喜欢读的书》里看到，书店里一直在销售的《岩波数学辞典》（第4版）已经成为了许多日本数学家与青年数学学子们经常翻阅的案头必备工具书。 也许是考虑到只有一本近2000页篇幅的《岩波数学辞典》（第4版）还不足以承载现代数学各分支在近几十年里发展出的巨大的知识容量，日本的朝仓书店出版社最近正在进一步策划出版一套名为“百科”的系列专著，以便更系统全面地总结和展示相关分支学科中的最新成果。目前在书店已经看到有这个系列中的4本百科专著面世，它们分别是“几何学百科”中的第一卷：
和第二卷：
“分析学百科”中的第一卷：
和第二卷：
这里简单介绍一下《几何分析》这卷书。几何分析是近几十年里由整体微分几何与偏微分方程交叉所产生的新领域，该领域内的一个重大成果是Perelman关于庞加莱猜想的证明。这本于2018年刚出版的百科专著详细总结和介绍了正质量定理、Yamabe问题、Dirac算子、Ricci流与3维流形、调和映射、Kähler流形的强刚性定理、以及复几何中的Kähler-Ricci流等几何分析方面的新成果。 目前在日本，对现代数学的前沿分支作出最成功介绍的通俗读物应该是被统称为
的3卷套书，这3卷书分别是（即代数）卷、 （即几何）卷和（即分析）卷。这3卷书依次运用了蓝、绿、红的单色封面，在各大书店的书架上显得十分醒目。《数学的现在》这套书突出重点，尽量系统地介绍最近二、三十年来现代数学前沿研究中最具代表性的概念与基本理论，使数学专业的研究生们能够对复杂抽象的现代数学有一个整体的初步了解，相当于是一种对现代数学的“通识教育”，这对数学研究生的培养来说自然是十分重要的。下面列出《数学的现在》这套书的各卷所包含文章的主题。
图4：《数学的现在》的代数卷、几何卷和分析卷 在《数学的现在》这3卷书中，代数卷的内容相对来说最为抽象难懂。尽管如此，该文集各篇文章的作者们在通俗易懂方面可以说尽了最大的努力。例如日本著名的算术几何专家斋藤毅在代数卷的第一篇文章“从黎曼猜想到平展上同调”中，从最基本的zeta函数和黎曼猜想出发，十分仔细地引入代数簇上的zeta函数和黎曼猜想的类比——Weil猜想，然后着重介绍：为了证明Weil猜想，著名的法国数学家格罗腾迪克创造了与复流形的奇异上同调类似的代数簇的平展上同调理论。接着作者进一步揭示平展上同调可以用来构造在算术几何中很基本的伽罗瓦表示，由此推动了关于模形式、Langlands对应以及费马大定理的证明等一系列重要进展。通过这篇文章的初步介绍，可以让读者大致了解当前算术几何中一些基本概念与理论的产生过程，这对开拓数学研究生的学术视野自然是非常有好处的。 《数学的现在》这套书的写法也是很值得借鉴的。该书的每篇文章都分成几个小节，由浅入深逐步展开，尽量用准确而又平易的语言及插图介绍各个数学分支方向的基本问题、解决问题的思路、数学定义及主要定理成果的含义、后续的进一步发展等，中间还会安排几个小习题，以鼓励读者动手演算。文章的结尾再给出一些关键数学名词概念的意义、主要的参考书和全部小习题的解答。《数学的现在》这套书从2016年出版至今，受到日本数学界和青年数学学子的普遍欢迎，并获得了2019年度日本数学会的出版奖。该颁奖词中说，对现代数学广泛领域中的专业知识进行平易解说的高端数学科普读物是非常难写的，尤其面向非专业人士介绍时就更是如此。《数学的现在》的出版是对大学数学教育的一大贡献（目前国内的高等教育出版社正在组织《数学的现在》这3卷书的翻译出版工作）。 二、以数学本科生为主要对象的杂志与入门科普读物一般来说，大学数学教科书是不能代替大学数学的入门科普读物的，这是因为大学数学教科书要在规定的篇幅内比较完整地呈现大学数学各门基础课程的理论体系，基本上只能按照非常严格的“定义-定理-证明”这三步曲过程来写，这样便不能很好地充分解释数学概念和理论的来龙去脉，给大多数中等程度的学生带来理解上的极大困难，因此教科书之外的数学普及读物对学生全面理解数学是不可或缺的。对于范围广泛的现代数学领域进行初步的通俗介绍，有助于学生真正对数学产生浓厚的兴趣。 日本数学界十分重视对大学数学本科生的数学教育和智力投资。事实上，上面的《数理科学》杂志中也有少数文章是针对数学专业的本科学生而写的，它们往往给出了大学数学基础理论（例如线性代数）的历史形成背景、后续进一步的发展，以及与其他课程的内在联系。除了《数理科学》杂志之外，日本数学界还出版了专门针对数学本科学生的几种数学杂志，笔者在书店里看到的《数学讨论班》、《现代数学》和《数学文化》就属于这类杂志，其中前面的两种是月刊，第三种是半年刊。书店不仅有这些杂志的最新期刊，还销售它们过去十多年里出版的过刊。这些杂志的共同特点是只刊登阐释性文章，不登传统意义上的数学论文。这些写法平易，吸引读者的文章注重培养学生对所学的数学知识的历史感，帮助他们更好地了解不同数学知识的内在关系，以及数学与其他科学技术之间的密切联系。《数学讨论班》和《数学文化》每期都会安排一个主题，然后围绕主题发一组阐释性文章，这些文章占到每期杂志三分之一的篇幅，其余的篇幅再安排其他各种题材的文章和数学书籍连载。由于是面向本科学生，这些杂志的内容和形式更加丰富多彩。下面对这三本杂志分别作一些简单的介绍： （1）《数学讨论班》这本创刊于1963年的杂志除了有少量介绍数学前沿动态的科普文章，它的大多数文章都面向数学本科生来介绍现代数学各分支学科的基本思想和理论，同时特别关注数学文化的传播和数学方法的各种应用。《数学讨论班》这份月刊在2009-2010年与2016-2019年部分期刊各期的主题分别是： “ 图5：《数学讨论班》杂志 例如2010年第5期《数学讨论班》的主题是“对现代数学产生重要影响的数学家”，该期有几篇文章分别介绍了格罗腾迪克、Weil、Gelfand、小平邦彦和von Neumann等对20世纪数学的发展有着重要贡献的数学家。关于格罗腾迪克的文章着重介绍了由其领衔编著的代数几何巨著EGA和SGA的具体内容，关于Weil的文章则简要介绍了他对代数几何、算术几何和创立布尔巴基学派所作的突出贡献，关于Gelfand的文章讲述了他的生平及对数学多方面的贡献，特别是在表示论上的工作，关于小平邦彦的文章从数学角度介绍了他在复流形和Hodge理论方面奠基性的工作，而关于von Neumann的文章只介绍了其在对策论方面的贡献。从这里可以看到他们对于数学家的宣传与介绍往往注重的是数学家具体做了什么工作。 日本数学教育界一直比较关注本科生在大学数学各门课程学习的起步阶段因为遭遇“抽象数学”的冲击而感到困惑和失去学习信心的情况，为此尽量写文章（或书籍）细致周到地对学生进行多方面的学习指导，包括改进学习方法、选择合适的参考书、以及提供各门课程知识的来龙去脉和背景材料等。例如2019年第5期的《数学讨论班》杂志围绕着“大学数学的关键点”这一主题，给出了如下7篇文章： “ 笔者在书店里看到一本《2018数学指导》，它是《数学讨论班》杂志社在2018年度编的一本很实用的增刊，其内容汇集了多年来发表在《数学讨论班》上的、通俗阐释大学数学几乎全部课程的要点及推荐书籍的文章。不仅如此，该增刊还包括了学生们很需要的常用数学软件的使用方法、TEX文字处理、以及数学本科生就业指导等方面的文章。 （2）《现代数学》这本月刊的主旨是尽可能多地介绍和传播现代数学知识，有的内容还比较深。例如2017年第9期的《现代数学》就包括了“无穷维李群”、“范畴论中的线性代数”、“量子物理学中的黎曼zeta函数”、“矩阵的初等因子”、“从伽罗瓦理论看现代数学（连载）”、“多复变函数论中的对称性（连载）”、“微积分的代数（连载）”等内容。 图6：《现代数学》杂志 《现代数学》杂志在2014-2017这几年中部分期刊主要文章的标题是： “ （3）《数学文化》这本半年刊在最近十来年里的各期包括了以下主题： “ 从这些主题我们就可以看到该杂志所主要关注的数学文化传播的具体内容。 就像学习外语时需要查阅词典一样，学习现代数学时也需要经常查阅数学百科全书与辞典类的工具书，因为它们可以提供比教科书和课堂教学更完备准确的各种知识，更便于学生的自学。由于《岩波数学辞典》（第4版）主要是面向数学研究生，它对于本科生来说过于艰深和简练，因此日本岩波书店出版社又推出了适合于本科生的
这部大开本辞典的篇幅共有727页，它除了包含覆盖全部大学数学常规的小词条外，还对所有体现重要基本概念的小词条都重点加以详细的解说。例如对“理想”这个词条，就从“所有形为（和都是整数）的数的集合是4的全体倍数的集合”开始讲起，包括理想的加法及乘法运算等，不惜笔墨，一直讲到其对代数数论和代数几何的应用，可以说是细致入微，这种写法能够让读者较好地理解这个基本概念所包含的丰富内涵。书店里除了有《岩波数学入门辞典》外，还有一部适合本科生的大开本
《朝仓数学辞典》是由日本朝仓书店出版社聘请川又雄二郎等几位数学家，精心编写的一部学习辞典，它与《岩波数学入门辞典》明显不同的地方是采用了中等词条的编撰方法。中等词条的优点是可以将众多的数学小词条合成一个整体，从而让读者在整体的联系中正确掌握各个数学概念的意义，这对像现代数学这样具有高度系统性和抽象性的学科来说尤其必要。每个中等词条用二至三页左右的篇幅来阐述（长的可达四、五页），其中包括了相关的最基本的定理与结果，中间还要举例和简要讲解，结尾再推荐几本参考书，这样整个中等词条就像是一篇综述性的小论文。整本《朝仓数学辞典》共包含了327个中等词条，例如有像“环上的模”、“若尔当标准形”、“有限单群的分类”、“自守函数”、“黎曼流形”、“示性类”、“K3曲面”、“环面(toric)簇”、“模空间”、“纽结”、“椭圆型方程”、“遍历理论”、“重积分”、“微分形式”、“小波”、“插值公式”、“拟微分算子”和“索伯列夫空间”这样的中等词条。 图7：《朝仓数学辞典》出版成套图书是日本出版界的传统做法，具有众多分支学科的现代数学尤其需要成套书籍的形式，来对每个分支学科分别进行写作与传播。在东京的每家大型书店里，都能够找到十来套左右的数学丛书。成套数学书的主编一般由数学专业水平高、通晓比较多的数学分支、同时又十分热爱和精通数学写作的数学家来担任。这些数学家其实也是出版社与读者之间的联系桥梁，他们懂得读者真正需要什么样的图书。 例如日本共立出版社的“数学要津”丛书就是一套专门为数学本科生而写的大学数学科普读物。著名的日本代数几何学家饭高茂教授领衔主编了这套丛书，他在丛书前言中将数学学习的过程比作登山，他说登山的路不止一条，登山者要选择最适合自己的路线，才有希望登顶成功。由于大学数学非常抽象，更需要全面和多角度地加以介绍。这套“数学要津”丛书就是为初学者提供有别于正规课程的更多的具有启发性的材料。下面列出笔者在书店里看到的这套丛书中部分图书的书名及作者：
图8：下面一排书是“数学要津”丛书 这里简单介绍一下这套丛书里的《平面代数曲线》。代数曲线是最简单的1维代数簇，而代数簇又是代数几何的主要研究对象。代数几何学习起来之所以非常困难，主要原因还在于初学者没有掌握好抽象代数及大量的相关几何背景知识，特别是不习惯该学科中奇特的代数思维方式。这本《平面代数曲线》就着重于提供这样的几何背景知识和代数曲线理论的一些最基本想法，它从历史上出现的一些知名曲线和多项式基础理论开始讲起，运用丰富的例子和图形通俗介绍了平面仿射曲线和射影曲线理论中最简单的内容，其中包括Bezout定理、奇点解消和曲线亏格等概念，甚至还讲了曲线的除子(divisor)群。 书店里另外一套名为“数学的邀请”的数学科普丛书中的部分图书及作者是：
上面的两套丛书中都各有一本书介绍了抽象代数中的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示问题时，所作出的重要发现，他发现可以将复杂的根的扩域问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，从而彻底解决了5次以上的代数方程何时有根式解的经典问题。伽罗瓦的成就引起了后来的数学家们研究群论的极大兴趣，经过不断的提炼和改善，最终形成了对20世纪现代数学的发展具有重要影响的伽罗瓦理论，例如伽罗瓦群就是代数数论中的基本理论——类域论的出发点。正是因为这个原因，国内外数学界一般都很重视对于伽罗瓦理论的著述与传播。事实上，日本书店里讲伽罗瓦理论的书实在太多了，除去讲伽罗瓦理论的专业代数书籍外，单是科普入门方面的书就有：
上面最后那本《宇宙中最美丽的伽罗瓦理论》是一本装帧得小巧玲珑的精美小册子，其作者上村恒司其实是一位业余数学爱好者，他说他学生时代的梦想就是要真正理解伽罗瓦理论，在经历了长期锲而不舍的反复学习与思考后，终于弄明白了伽罗瓦理论。于是在退休后上村恒司将自己对伽罗瓦理论独创的理解方式写成了这样一本书。该作者的主要独创之处在于直观地解释2、3、4次代数方程的伽罗瓦群为什么是可解群（对应了方程是根式可解的），他分别用正三角形和正四面体的运动变换群来直观表示这些可解的伽罗瓦群（即这些伽罗瓦群是怎样存在正规群列的），并且用结构图形说明这些伽罗瓦群的逐步缩小是如何依次对应了有理数域的正规扩张，由此读者也就容易明白一般的5次（及以上次数）代数方程没有根式解的内在原因是方程所对应的伽罗瓦群不是可解群。这样的写法较好地显示了伽罗瓦用群论来解决问题的天才想法。当然只用这样一本100页左右的小册子是不可能完整给出伽罗瓦理论的，它的作用只是一方面让一般的数学爱好者能够大致了解和欣赏伽罗瓦理论的基本思想，同时也让数学本科生在正式学习完美而又艰深的伽罗瓦理论前就知道数学理论的相关背景。 图9：《宇宙中最美丽的伽罗瓦理论》 下面再介绍几本笔者在书店里看到的大学数学普及读物：
这是一本在2016与2017这两年的《数学讨论班》杂志上连载的一系列文章经过整理后形成的书（日本的不少这类通俗读物都是这样先由杂志连载，然后整理产生的），该书在2019年刚出版，作者是日本的数论专家落合理。该书用流畅细致的文笔尽量通俗地介绍初等数论、代数数论、解析数论的主要内容，特别是介绍了20世纪现代数论的几项主要成就，包括zeta函数与黎曼猜想、岩泽理论、Weil猜想、模形式、类数公式、BSD猜想、Langlands对应等内容，展现了一幅现代数论的美丽壮阔的风景画。 图10：《现代数论的风景》
正如书名所说，微分是研究几何的强有力手段。这本由中内伸光写的对话体普及读物也是在一本数学杂志上连载而成的书，它从古典微分几何讲到现代的微分流形上的黎曼几何，所包括的内容有：曲线（曲率、绕率及Frenet-Serret公式）、曲面（高斯曲率、高斯公式及Weingarten公式）、微分流形（切空间、向量场、联络及黎曼度量）等。由于是采用了一个教师和一个学生之间的对话形式，所以通过抓住核心的问题，作者就能够借由教师之口循循善诱地引导学生，再加上丰富的图形和生动的卡通形象，使读者得到不少教益和启发。有了低维的曲线与曲面上的活动标架作为基础，读者就不难理解在高维的微分流形上对切向量标架进行某种推广了的“微分”做法，从中就可以引出黎曼曲率等最基本的几何概念。
一般在微积分和数学分析的教学中，学生要学习各种分析技巧，然而他们却不太明白这些看上去缺乏趣味的繁琐公式有什么用处。实际上现代分析已经发展成了数学中的一个庞大领域，我们完全可以让学生先熟悉分析学后续各个分支课程丰富多彩的初级内容，这样反过来就能够使学生看到微积分和数学分析中各项知识点的来龙去脉及用处，由此便能促进对这些知识点和分析技巧的理解。由藤田宏等人写的《应用分析初步》是岩波书店出版社“岩波数学”丛书中最近刚出的一本书，它十分通俗和清晰地介绍了分析学是怎样解决实际问题，微积分的方法又是如何进一步扩展的。该书的具体内容包括了增殖函数、震动模型、竞争模型、行星运动模型、弦振动方程、热传导方程、傅里叶变换、变分法和广义函数等最基本的应用分析方法。特别是最后一章“广义函数”写得很富有启发性，让抽象难懂的广义函数变得十分自然和浅显易懂。 三、其他的一些数学文化普及类读物在日本的书店中，为一般的数学爱好者而写的数学科普图书非常多，其数量之庞大，需要安排几个专门的书架来陈列，供读者选购。
图11：日本书店中的数学文化科普类图书 走进书店，可以看到一些已经翻译成中文的数学家随笔集的日语原版书，如冈洁的《春夜十话》、小平邦彦的《惰者集》和《几何世界的邀请》等，当然更多的是笔者从未见过的大量的数学文化与普及类的书籍，其中包括了数学家的传记或回忆、数学家学习数学的体会与抒情散文集、数学各学科的科普及应用等内容。下面分类列出笔者看到的部分书籍的书名及其作者（这里有部分作者的姓名没有记下）： “ 除了以上书籍，笔者还看到书店里有两本大开本的文集 “ 它们是由数学家R. Wilson和J. Gray编的一本英文文集的日译本，原来的英文版书名是《Mathematical Conversations》（Springer 2001），该文集由著名的数学文化类杂志《Mathematical Intelligencer》（数学信使）上发表过的最精彩访谈或阐释性文章汇集而成。这些写作质量极高的文章为广大数学师生提供了与现代数学息息相关的重要信息。下面列出该文集中部分文章的标题及其作者：
现在我们再来介绍一套由日本筑摩书房出版社出版的著名的“学芸文库”丛书。这套小开本丛书大概已经出了两、三百本的数学文化类图书，这些图书所包含的范围比较广，下面按照数学家的学习体会与一般数学科普、数学各学科的科普、以及数学经典名著等方面，列出笔者在书店里看到的该丛书中部分书籍的书名及其作者： ❝ （1）《数学文章作法（基础篇）》这本小册子的作者结诚浩是一位写了大量数学科普读物的作家，他的书包括了著名的《数学女孩》系列数学科普书（国内的人民邮电出版社已经翻译出版了这套系列书的前四本），他具有丰富的数学写作经验。数学写作不同于一般的日常写作，它是一项专门的技术，有许多数学语言的表述方法是需要学习的。本书内容包括数学文章的结构和层次、语句和字体、段落划分等，作者给出了在数学写作中经常会遇到的大量细节问题的处理方法，甚至讲了“最大”与“极大”的区别，以及“充要条件”和“显然”等常用词的用法，还有各种数学式子与命题的表达与排版问题，例如要将“”写成“exp(指数部分)”的做法等。 （2）《近世代数学的展望》这本书的作者秋月康夫(1902-1984)是日本老一代的代数几何学家。这本厚达500页的小开本著作实际上分成了两个独立的部分，第一部分由十几篇关于抽象代数的阐释性文章所组成，涵盖了群、环、域、伽罗瓦理论、赋值、群与代数的表示等内容，第二部分由另外十几篇主要讲复代数几何的阐释性文章所组成，包括微分流形、黎曼流形、同调代数、复流形、Kähler流形、小平（邦彦）理论、Hodge理论和Abel簇等内容。虽然这本书的写作年代较早，但是作者的详细解说仍然对今天的读者学习与理解抽象代数与代数几何很有启发。
图12：《近世代数学的展望》 （3）《怎样运用数学》本书作者是日本著名的数学家志村五郎，他与日本数学家谷山丰一起所提出的“谷山-志村猜想”是证明费马大定理的一块基石。本书主要由11篇阐释性文章所组成，它们以数学本科生为读者对象，讲述在教科书中很少介绍但是又比较重要、也是很有意思的数学知识，其中特别包含了作者本人极宝贵的学习与研究数学的心得体会。这些文章的题目分别是：
数学史是体现与传播数学文化的最好途径。借助于数学史，可以让学生们了解历史上数学家们朴素而又深刻的思想是如何一步步发展成今天蔚为大观的数学理论的，从而能够增进对现代数学的理解。日本的数学家们一向都十分重视研究数学史，特别是重视近现代数学史的研究，他们翻译出版了许多数学史著作和数学家的原著，同时也写了不少数学史方面的专著与科普书籍。在上面介绍的许多文章与各种书籍中，或多或少都使用了数学发展历史的观点与材料。书店的书架上除了摆放着由法国著名数学家J.Dieudonné主编的三大卷 ❝ ❝ 的日译本，还有下面这些数学史方面的著作： ❝
图13：数学史方面的新书 在书店里，笔者还看到了一本 ❝ 它是《数理科学》杂志的增刊，其中汇集了1990年日本现代数学史研究会所举办的第22届演讲会的14篇演讲稿，从下列这些演讲稿的题目中可以看到，日本现代数学史研究的数学味是比较浓郁的：
目前，越来越多国外的大学数学教材或数学入门科普书运用了数学史的观点和材料，来重新组织传统数学课程的体系与内容。这是因为在学习数学知识时，如果不从数学历史发展的角度来讲的话，很难让学生真正理解课本上抽象的形式化推理体系背后所包含的实际内涵。历史上一些大数学家的朴素的想法和他们解决过的一些相对简单的问题极具教育上的价值，运用历史方法讲数学可以激发学生的学习兴趣，让他们体会数学家创造数学的伟大瞬间，从而能够领会数学方法的精神实质。当然，用数学史讲数学并不是在形式化的推理体系中，简单地穿插一些数学家的生平故事来调节气氛，而是通过突出数学问题的提出过程和特殊具体问题的解决过程，来导出最重要的数学概念与方法。 书店里的一套“大数学家的数学”丛书，就是试图通过数学史与数学家来讲解一些十分重要的数学专业知识： ❝
图14：右边是“大数学家的数学”丛书中的新书 这些书直接在历史的框架中讲授相关数学课程的内容，用历史上曾经出现过的原始数学问题来引入主题。当读者了解了大数学家创造数学理论的原始动机后，他们自然对这个理论的理解就会进一步加深。例如代数数论中的类域论初看上去是一种很抽象（甚至有点古怪）的理论，但是如果了解了日本数学家高木贞治怎样从伽罗瓦理论出发，研究代数数域的阿贝尔扩张问题，并进而参与创建了完美的类域论的过程，那么对读者来说这个理论似乎又“活”了起来，显现出特有的趣味。上面这套书里的《高木贞治：通向类域论的旅程》就是按照这样的思路来写的。 书店里还有几本由岩波书店出版社出版的“数学大潮流”丛书中的数学普及读物，它们也是将数学史与数学教学有机结合的产物： ❝ 在大学数学的各门课程中，初等数论是最容易运用数学史来讲的一门课。但是一般的初等数论教材比较注重理论体系的完整和具体的解题技巧，不太讲理论的来龙去脉，这样往往使学生抓不住要领。日本数学家高濑正仁写的新书 ❝ 就是一本按照历史发展过程来写的初等数论入门书，它从费马对各种整除规律和素数性质的发现与研究入手，再讲到高斯用同余理论加以整理和提升，书中给出了初等数论的一条鲜明发展主线。书店里类似的新书还有 ❝ 与 ❝ 等。 在近现代数学的发展史上，德国数学家黎曼所取得的成就可以说是居功之伟：他对分析学、数论、黎曼几何及代数几何等几个基础分支学科都作出了划时代的贡献。如果能讲清楚黎曼的创造过程，必将有助于人们进一步理解这些现代数学的主要分支学科。书店里有一些书尽量通俗地解说黎曼到底创造了哪些重要的数学（见图14的左边新书），特别是数论中著名的黎曼猜想。这些书是： ❝ 活跃于上世纪60年代的法国数学家格罗滕迪克，集现代数学之大成，采用了具有革命性的范畴论观点重新建立起了代数几何学的逻辑基础，从而深刻揭示了代数簇的基本性质，并由此为解决现代数学中一系列难题开辟了正确的道路，他的思想对于推动20世纪现代数学的大发展具有十分重要的影响。众所周知，格罗滕迪克所创造的一系列理论（包括概形、拓扑斯和母题等理论）是非常难以理解的，人们需要通过历史（尤其是现代数学史）、社会和思想文化环境等各种途径来了解、学习和研究格罗滕迪克。笔者在书店看到了格罗滕迪克在晚年写的长篇回忆录《收获与播种》的日译本，日译本分为三册出版（见图14中间的两本新书和图15），书名分别是 ❝ 和 ❝
图15：《数学家孤独的冒险》 在格罗滕迪克的传记还没有问世的情况下，《收获与播种》不仅对一般的数学爱好者来说，是了解格罗滕迪克生平事迹和内心世界的第一手材料，而且对于数学家来说，也是研究他的数学思想和创造数学具体过程的极宝贵资料。 在书店里还有一本独特的研究格罗滕迪克的书： ❝
图16：《格罗滕迪克巡礼：数学思想的未来史》 这本厚达732页的大书的作者是山下纯一。该书作者阅读了大量有关格罗滕迪克的资料，力求在书中探讨和还原上世纪60年代的社会思想文化环境，对形成格罗滕迪克杰出思想的影响，他还到格罗滕迪克所有生活过的地方实地探访了这位数学家真实的生活环境，试图回答那个时代怎么会产生格罗滕迪克这样一位具有革命性思想的天才人物的。 四、一个普通社区图书馆中的数学文化书籍据说日本人平均每人年阅读量是40本书，如果这个数据是准确的话，那么他们所阅读的书籍中有相当大的比例，应该是来自遍布日本城乡的社区图书馆。虽然日本人平时也用类似中国的微信这样的好几个社交软件，但在他们的这些软件里只有聊天和照片，完全没有阅读链接文章。手机阅读好象也不普遍，相当多的日本人都较好地保持了阅读传统纸质书的良好习惯。 笔者这次在日本随机地考察了东京的一个社区图书馆。日本的首都东京城区其实是由东京都及其周边的三个县所组成，而东京都下面一共辖23个区，他们这个“区”的面积大约是国内大城市中的行政区面积的一半。“区”下面又分十来个社区，因此一个社区就相当于国内城市中的半个行政街道这么大，不过与国内不同，日本的社区一级没有行政管理部门及人员，市民有事的话直接找“区”政府（即“区役所”）。除了每个“区”有图书馆，在每个社区都分别有一个社区图书馆，进入图书馆不需要任何证件（但是借书需要先办理一个借书证）。
图17：社区图书馆
图18：社区图书馆书架分布图 笔者所参观的这个社区图书馆共有两层，总面积大约有400平米左右，其中所藏图书品种数量之多，完全可以与国内的一所小型大学图书馆的阅览室相媲美。文科类的图书包括古籍经典到人文社会科学的各个学科，甚至有各种乐器的演奏法等图书，理科的图书包括了天文地理、数理化生物、以及工程技术、管理环保等范围，应有尽有，例如有机场运行与管理方面的图书。数学类的图书大约有120本，以数学文化科普类的图书为主，其他的理科类专业（如物理、化学等）的科普图书平均都有30本左右。
图19：社区图书馆中的图书
图20：社区图书馆中的数学类图书 在图书馆的书架上笔者看到了几本熟悉的书，例如上面介绍过的《数学的现在（卷）》，以及《与直观感觉不一样的数学——不被想当然的想法牵着走的数学思考法》（中译本由人民邮电出版社在2018年出版，书名改为《数学思考法：解析直觉与谎言》）和《图说数学事典》（翻译自德文，中译本由上海科学技术出版社在1981年和1985年分上下两册出版，书名改为《简明数学全书》）。 下面再介绍几本笔者在该图书馆看到的比较有特色的数学书： （1）《大众媒体中的数学》大众媒体是人们每天都要接触的，由于数学在现代社会中的广泛应用，现在的媒体与文艺作品中经常会出现与数学相关的词语，向社会公众解释这些词语的含义，是传播数学文化的一个很好途径。该书的作者马场博史在书中列举了13部小说（第一部是小川洋子的有名小说《博士热爱的算式》）、18部戏剧（包括电视剧）、14部电影（其中有《人猿星球》）、4部漫画、2部动画片和2个新闻（其中一个是发现史上最大的素数），然后对每一处涉及到数学概念或公式的地方（例如一句台词或一个情节），作出简单易懂的数学解释。 （2）《对工作有帮助的数学——非常有趣》这本带有很多手写公式、图形和卡通形象的书的作者是东京大学工学系教授西成活裕，他用一种形象比喻的手法，试图告诉读者大学数学（例如微分方程）可以用来指导普通公司职员的日常工作和生活态度。虽然人们在平时的工作中并不需要解一个微分方程，但是从解微分方程中体现的数学思想对日常工作是有帮助的，这些思想包括了“最优化与效率化”、“预测未来”、“大局观念”和“危机对策”等，甚至连大学里教的旋转方程、泰勒展开和震动方程（孤立波）等内容在作者的眼里都能跟公司的工作联系起来，这充分表现了数学思想方法对于培养人们的理性思维习惯的作用。 （3）《数学事典》这是一本由德文书《dtv-Atlas Mathematik》翻译而成的日语数学书，原作者是F.Reinhardt和H.Soeder。日译本书名前有两个小字“彩图”，所以该书的书名也可以是《彩图数学事典》，相当于是一本配有大量彩色示意图的大学数学学习手册。在学习大学数学的过程中，我们都经历过这样的场景：对一个难懂的概念、公式或定理，只要能将其变成直观的图形，就马上理解了。该书用了上千幅彩色示意图来讲解从数学分析到抽象代数、泛函分析、代数拓扑等所有大学数学课程中的基本概念与主要公式定理的含义，并且举例加以说明。这本印刷得十分精美的书让笔者想起一句谚语：“一张图胜过千言万语”，教师可以借鉴其中的图形用于课堂教学，学生可以通过读懂书中的图形来理解一般课本中显得十分抽象难懂的数学演算与证明。笔者觉得这本让人爱不择手的书的原作者一定是具有丰富教学经验的教师，任何抽象艰深的数学他们都能够用彩图讲得简单清楚明白。
图21：《数学事典》中讲解同伦概念的彩色示意图 （4）《挑战数学的大统一》（中译本的书名为《爱与数学》，中信出版社2016年）这是根据数学家弗伦克尔(E.Frenkel)写的一本优秀现代数学通俗读物《Love and Math》翻译而成的日语书，它主要介绍当前数学前沿领域对著名的Langlands纲领的研究。Langlands纲领是21世纪最大的数学难题，这个纲领最初的原型是由数学家Langlands提出的联系数域的伽罗瓦表示与自守形式之间的等价关系的一组猜想，它其实可以看成是对类域论的高维推广，并最终将数论、代数几何、表示论、调和分析和数学物理联系在一起。不能不说日译本的书名改得非常好，突出强调了Langlands纲领的伟大意义在于将几个大的现代数学分支联系和统一起来。作者结合自己研究Langlands纲领的亲身经历，用一种文学的夸张手法，生动叙述和讲解了与Langlands纲领密切相关的一些现代数学概念与理论的发展及意义，以及数学家们兴奋而又曲折的研究过程，从而描绘了一幅激动人心的现代数学宏伟图景。
图22：中译本《爱与数学》 五、一点感想从世界发达国家的经验看，由于现代数学十分抽象难以理解这一特点，一般来说大学数学入门及数学文化类读物的数量要远远超过其他理科（如物理，化学，生物等）的科普入门读物的数量，在日本尤其如此（例如上面的社区图书馆里数学书与其他理科专业图书的数量之比就是120︰30＝4︰1）。 本文除了介绍部分数学杂志中的一些阐释性文章外，总共介绍了358本笔者这次在东京的几家大书店里所看到的数学文化科普类的新书，如果再加上笔者没有看到的同类新书，以及历年来出版销售的数学文化科普类书籍，那么这个总数量是相当可观的。虽然所有笔者看到的这些新书在日本的网上都可以买到，但是能够在实体大型书店里亲眼见到它们，并且能够随手翻阅浏览，进而挑选购买的体验则是与网购完全不同的。此外由于日本有非常严格的著作权法，不同的出版物互相之间不能有任何相似或重复之处，加上日本人的版权意识普遍很强，这样就使出版业呈现了一种风格各异、百花齐放的局面。毋庸置疑，这对初学者们学习高度抽象的现代数学知识是极其有利的。 另一方面，据说在日本，一般只有国立大学才设置数学系，而日本的国立大学总共大概有一百所左右，因此如果每所国立大学平均每年招40名数学专业的学生，并且毕业以后大约一半人继续读数学研究生，那么全日本每年就有约两千名的数学专业研究生。虽然数学文化科普类书籍的一般读者是广大的数学爱好者，但从最狭义的观点上讲，笔者感到书店里数量庞大的数学文化科普类图书及杂志应该主要就是为了这每年两千名现代数学的后备力量而写的。 在当今的日本数学界，活跃着一大批热心于数学传播与写作的数学家。尽管他们在各种专业杂志及数学会议场合一般都用英文进行写作和交流，但同时又坚持用日语来写作大量的数学专业及科普书籍，他们似乎真正地把数学写作与传播看成是一种对建设“数学共同体”的责任。其实如何让下一代的人们继承好现代科学与现代数学的知识，始终保持日本数学与科学在世界上的领先地位，一直是日本学界担忧的问题，为此他们一直在扎实努力地工作。我们从以上的介绍中不难得出结论：促使日本数学事业健康发展的一大秘诀就是日本数学界高度重视以写作阐释性文章与数学文化科普书为中心的数学文化建设。 |
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