质数是一群调皮的孩子

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质数ABC

质数（prime number），又称为素数：

质数是只有1和自身两个因子的自然数。大于1的非质数是合数，1既不是合数也不是质数。

质数无法摆成矩形

算术基本定理体现了质数的地位。

定理1（算术基本定理）对于正整数，都可以表示为质数的乘积，

不考虑质数排列顺序，这样的分解是唯一的。

如果把1也算作质数，则质因数分解不唯一。每个正整数就像是一个由质数构成的化合物，都可以被分解成最简的质数原子，每个正整数的“化学式”都是唯一的。事实上，由算术基本定理，我们可以把正整数写为如下形式：

于是我们可以只通过指数列就可以表示任意正整数。质数的概念至少在古希腊时期已经出现，然而两千年过去了，质数的规律依然没有完全昭示世人。因为质数的规律近乎于随机行为，没有人能准确预言下一个质数落在什么地方。古希腊数学家埃拉托斯特尼的筛法是判定质数最基本的工具：

定理2（埃氏筛法）若不能被之前的所有质数整除，那么是一个质数.

之所以只需检验之前的质数，是因为反比例函数关于轴对称.

质数是否是有无穷个？欧几里得给出了一个鬼斧神工的证明：假如有有限个质数，那么考虑数，显然不能被已知的所有质数整除。此时分两种情况：

• 若是质数，但（因为比已知的质数都大），这与假设矛盾；
• 若是合数，由算数基本定理，必然存在某质数是的质因数，然而（因为已知的质数都不能整除），矛盾。

于是假设不成立——

定理3 质数有无穷个！

质数是整数乘法系统的基石，很多命题只要质数成立，则对于一般的整数自然成立。

质数如此不规律，相邻质数间距也是数学家关心的问题。事实上质数间距可以任意大，只需要注意到下面这个连续的合数列

如果把质数的间距视为一个数列，那么这个数列中存在子列（所谓子列从集合的角度就是一个无穷元素的子集，但是新数列的排序依然按照原数列下标的从小到大排列，例如奇数列就是自然数列的子列，并且奇数按照由小到大的顺序排列），这个子列趋于正无穷。这个现象我们表示为：

孪生质数是指相差为2的质数对。我们把从项以后最小的质数间距列出来，

但是无人知晓这个数列的2是否有尽头，也有可能随着项数充分大后，质数间距不再小于等于4，6，8，……甚至会趋于无穷。2013年，张益唐给出一个令人安心的答案：这个数列不会超过七千万，即

而孪生质数猜想则等价于：

质数和等差数列也有着独特的缘分。

定理4（狄利克雷定理） 形如的等差数列中包含无数个质数，当 .

2004年，格林和陶哲轩还证明了，质数中存在任意长度的等差数列。

质数定理

图片背景是质数螺旋图

我们把满足如下性质的数论函数命名为乘性函数：若，则

由于大于1的正整数都可以质因数分解，于是对于乘性函数而言，

于是求函数值可以转化为求 的值。

例如欧拉函数表示不超过的正整数中，与互质的个数。欧拉函数就是一个乘性函数：

引理5 若，则

证明： 设是不超过、与互质的数全体；是不超过、与互质的数全体。因为，有

于是至少有个数与互质，即.

反过来，与互质的数，一定与和互质，用同样的方式可以构造出，中的数同时与和互质，并且，则可以说明.

容易计算

于是利用欧拉函数的乘性，可得

推论6 ，

关于欧拉函数有著名定理

定理7 ，则

只需令即有

推论8（费马小定理） ，则

证明很简单，但需要补充缩剩余系的内容，故省略。顺便一提——

定理9（威尔逊定理） 是质数的充要条件

威尔逊定理也有很多变体

<公式左右滑动可见>

但是并不实用。目前计算机快速判别质数的方法基于费马小定理的逆命题，然而逆命题不成立存在反例——伪质数，只不过它出现的概率极低。

就连欧拉也感慨：“世界上有许多人类智慧无法解释的奥秘，看一眼质数表就会发现，它是如此毫无秩序，毫无规则可言。”不过欧拉还是凭借他非凡的洞察力，发现了如下公式：

定理10  

<公式左右滑动可见>

证明： 证明只需要用到等比级数公式：

然后展开括号，

<公式左右滑动可见>

比较原式左右两边的项，不重不漏一一对应。（绝对收敛级数的求和顺序不影响最后结果）

事实上，利用该式也可以证明素数有无穷个，假设质数有限，则

然而令，

调和级数发散。于是等式左右两边同时取极限不相等，矛盾。

利用高等数学的技巧，我们可以得到时的特例：

推论11

质数、自然数、圆周率被奇妙地联系在一起。

当时的人们并没有意识到欧拉这个恒等式有何作用。另一方面，高斯和勒让德猜测了质数渐进公式：

定理12（素数定理）  

值得一提的是勒让德关于素数计数函数的公式：

定理13（勒让德），  

<公式左右滑动可见>

这个公式实际上和欧拉函数公式（推论5）有一定的关联性。假如上面的公式等号右边取整号全部去掉，则

其中. 于是得到

这该怎么理解呢？因为对于而言，之前的数都可以被整除，也就是与都不互素；之后与互素的只能是新的质数了。当然，这个有趣的推理其实非常不严谨，它基于一个难以实现的前提——能整除之前的所有质数。

直到黎曼将欧拉定义的函数解析延拓到复平面（挖掉这个奇点），一切变得明朗起来。黎曼甚至给出更精确的素数定理的猜想，它等价于我们现在所说的黎曼猜想：的非平凡零点全部分布在这条直线上。

而原始的质数定理只需要证明：上无零点。这个事实最终在1896年由阿达马和德·拉·瓦莱布桑按照黎曼的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明。1949年，塞尔伯格和埃尔德什分别独立地给出素数定理的初等证明。

质数的研究或许永远没有尽头。质数就像是一群调皮的孩子，任意对他画出种种条条框框，都不能尽皆约束；然而他偶尔也有听话可爱的一面，在你不知道的地方，零零散散站立着，等待数学家去发现。

视频 | 数学的美丽与力量