【原】抽象代数 2.6:群同态

群同态

这一节，我们将进入群同态的学习，首先我们先来说明一下为什么引入群同态的？从一个浅显的角度而言，我们已经见过了很多群了，如果每一个群都需要我们去独自研究，那实在是太费力气.所以我们试图找到不同群之间的联系，因此群同态就出现了，我们可以看到，群同态是一种保持结构的映射.

定义1：[群同态]设都是群，，且对任意的都有：

则称是群到的同态，若满射，则称为映上同态或者满同态，若映射为双射，则称为同构.到自身上的同构称为自同构.当映射为同构时，我们用表示.

我们必须在这里给一个注解，那就是虽然我们省略掉了二元运算，但是实际上如果我们分别用来表示的二元运算应该有如下表达式：

当然某些特殊情况下，两个群上的运算确实是相同的.

下边我们给出几个具体的例子.

1. 设为任意两个群，则为映射：,是的幺元，是同态，称这个同态为平凡同态.

2. 设为映射，则这个映射为自同构，称为恒等映射.记为：

3. 设是实数加法群，是非零实数乘法群，作：,，则这个映射是单映射但不是满映射.

4. 设是任意一个群，，作的映射：.这个映射称为元素决定的的内自同构.(请对这个同态加以关注，稍后我们会用到它.)

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下边给出群同态的一些性质：

性质1：

1. 设是群同态，则是的幺元.
2. 群同态将逆元变成逆元.
3. 设是群同态，若是的子群，那么是的子群.
4. 设是群同态，则是的子群.
5. 设是群同态，若是的子群，那么是的子群.
6. 设是群同态，是的幺元，则是的正规子群,称为同态的核.
7. 设是群的正规子群，到其商集的自然映射为群同态，称为自然同态

证明：

1. 故得：.
3. 运算封闭，对于任意的所以运算封闭，有因为存在所以逆元存在.
4. 显然,如果.那么存在,那么,所以：,故逆元存在，运算封闭类似可证.
5. 对于任意的存在,,所以,所以运算封闭；同理,所以,所以逆元存在.故是的群.
6. 首先我们先验证他是一个群，因为对任意的,所以所以运算封闭，其次逆元存在，因为如果：,所以所以是子群，其次是正规子群，对任意的,所以,所以是正规子群.
7. 我们上一节已经证明了是一个群，我们定义：

   显然这是一个满射，其次验证这是一个同态：

   所以这是一个群同态.我们给一个记号-自然同态.

下边给一个稍微复杂的群同态的例子：

例子1：给定整数加法群和实数乘法群：

1. 验证：是群同态且是群同构.
2. 验证是的子群
3. 说明的子群都是形如的形式.

证明：

1. 首先该映射确实是个双射，故我们只需要验证是群同态即可：

   故这是一个群同态，同是又是双射所以是群同构.
2. 根据定理我们可知确实是的子群，不过这个题要你验证，所以你需要一步一步验证.这里就略去了.
3. 这个方法我们已经很熟悉了，首先我们知道如果,这里我们取：,如果存在,根据带余除法可知：

   这与的最小性违背，所以

同态基本定理

下边我们要引入本节最重要的定理：同态基本定理.我们的引入并不是毫无根据的.因为我们总希望映射是一个双射，这样该映射就会有很好的性质，但是事实上一个映射不总是双射，一个群同态也不一定是同构，甚至不是满态或者单态.但我们并不担心，因为映射基本定理告诉我们，一个映射不单我们就考虑等价类定义的映射，一个映射不满我们就考虑映射所对的像，我们这里先假定这个群同态就是满态这样的好条件，得到同态基本定理，然后削弱条件就可以得到同构基本定理.

下边给出同态基本定理：

定理2：[同态基本定理]设是满态，则诱导出的 的同构 其中 对一切 成立.此时：

首先验证这是一个双射，对任意的

故满射有了，再验证是单射，如果：

所以这是一个双射.

再验证这是群同态：

故这是一个群同态.

事实上，我们没有验证这个定义的合理性，现在补上}：假设,我们现在看看是否相等？因为：,所以：

,

所以运算与代表元选取无关，因此我们完成了同态基本定理所有的证明！

小周干不动了！