【原】模论初步三：模的性质

有关模的基本结论

没想到回了老家还能上网课...Surprise! 刚刚上完模论三和四，新鲜修正的笔记!

现在研究基本性质：将环论中的子环、环同态、商环均平移过来！

一个事实：设是的一个模，那么

子模

子模的概念是子环的平移：

类似的，设M是的一个左模，而是M的一个子模，那么他应该满足什么性质呢？首先N是一个子群，那么要求对任意的有,其次应该有逆元和幺元，其次它自然满足模的四条性质，但是为了让模的作用结果落在,里应该有：,这样就满足了模的定义，而事实上，对于逆元和幺元的条件我们可以去掉，这是因为：.所以逆元也在里.注意到这里我们有些大意了，我们没有证明,因此我们不可随便说这里的这个数乘运算需要具体定义.下边我们证明，前面所述：

因此,对于请大家自证.

因此我们得到了是子模的充要条件：

定理1：设M是的模，是的子集，那么是子模的充要条件是：

1.任意的;

2.任意的.

下边我们给出一些例子：

1. 如果环是,且是的模，那么是子模的只需要是的子群即可.这是因为

2. 如果是向量空间，而是数域，那么是子模即是的是子空间

3. 如果是向量空间，是一元多项式环，那么是子模当且仅当是的不变子空间.这是因为

4. 最后考虑是的模，定义模作用是左乘，那么是子模如果它是R的左理想.

模的一些性质：

1.设是的模，那么是子模.

2.设是非空子集，定义< S >为所有包含的模的交，它是包含的最小子模.

如果,那么：

3设是的子模，那么由生成的子模是：对于无限的情况比较复杂，我们只考虑有限并

其中.我们用或者表示.

商模与模同态

设是的模，是的子模，因为是Abel群，所以是正规子群，因此是可以定义为商群，定义：,在商集上可以定义加法：

逆元：

我们自然想要在商群上定义数乘，那么怎么定义呢？

是和的等价类做数乘，自然就可以考虑定义为.

我们验证也是的模，因为：,,有：所以,所以定义与代表元选取无关(这里我们定义模作用用到了代表元，所以要验证定义与代表元选取无关.)，

定义：:

且剩下三条性质也是满足的，所以M/N也是的模.

下边我们考虑模同态：设M,N都是的模，定义他们之间的同态，首先这必须是一个群同态：所以自然满足：

其次，体现出模的作用，那么还要满足：

类似在环中和在群中，我们有是的子模，是的子模.

现在考虑是一个包含在的子模，那么定义：

我们验证这是一个模同态：

且

所以这是一个模同态，且还是单态，因为如果,那么：,所以是单态，根据同态基本定理我们可知道：

定理2：设是模到的满态：

1. 商模与模M_2是同构的.
2. 存在的包含的子模与的子模一一对应
3. 如果N_1是的包含的子模，那么：

定理3 设M是模，和都是其子模:

1.证明：.

2.若,那么：.

由于群同态基本定理都是满足的，因此只需要验证这是保数乘的即可！

现在考虑一个元素生成的模，他在环中代替了循环群的位置，令：

在加法意义下这是一个群，且是Abel群，我们验证它也是一个左模：

我们定义，,显然这是一个满态，所以：

记称为零化子.

如果,那么,对于模：

要么,要么(子群.)

最后我们让都是模，定义Hom(M,N)为到的模同态组成的集合，我们可以把它做成一个Abel群以及的模，因为对于,且零元为0映射，因此我们只用证明还是一个模同态即可(easy自己验证)，此时我们考虑第三个模,我们可以验证对于,.如果再加上第四个我们还可以验证映射的复合即有结合律，所以我们又可以定义乘法，最后我们得到：是一个环.记为模的自同态环.