【原】模论初步七：主理想环上的矩阵的等价

主理想环上的矩阵的等价

欧式整环上的矩阵等价

让我们先回忆一下高等代数中的一个非常重要的结论：任何一个矩阵都可以复相似一个Jordan矩阵，其中对角线上都是该矩阵的行列式.为了证明此条结论，我们利用了矩阵的知识，利用矩阵我们证明了任何一个矩阵的特征多项式都可以相抵于一个标准型，其中对角线上的元素为依次为.且满足.现在我们来分析一下该结论：我们利用的矩阵本质上是阶的矩阵其元素为一元多项式环上的多项式.那我们会问了，是否任何一个环上的矩阵都可以相抵与这样的标准型，事实上我们暂时只能将结论推广至主理想环.且我们看到欧式整环上有这样的结论的核心在于：欧式整环上可以做带余除法.

下边我们便证明欧式整环上有这样的结论：

设 为欧式整环, 则 上任何一个 矩阵都等价于一个形如

的矩阵, 其中 且 .

我们的证明方法完全和高等代数中的证明方法是一样的，只需要将一元多项式环的带余除法修改为一般的欧式整环上的带余除法即可.

首先我们引入欧式整环上矩阵的初等变换，并且说明他们的意义且都是可逆的.

1. 第一类初等变换：,左乘相等于交换第行，右乘相当于交换列.它的逆矩阵还是

2. 第二类初等变换：,左乘(右乘)相当于第行(列)乘(要求是可逆元),它的逆矩阵是.

3. 第三类初等变换：且要求.左乘(右乘)相当于将第行(列)的第倍加到第行(列)上.它的逆矩阵为.

现在我们正式开始证明，如果,那没什么好证明的.

所以我们先假设,否则总存在,我们可以通过初等行列变换将其换到第位置.

现在考虑对第一行和第一列的元素做带余除法：

如果,那很完美，

如果,那我们就先将第一列乘倍加到第列上，再利用初等变换将挪到第1-1位置上.然后继续考虑新的第一列和第一行的元素，

如果还有以上情况发生重复上述操作，由于每做一次，的值都会至少减1，由正整数的性质他只能做有限次，所以最后得到1-1位置是能整除所有 的第一行或者第一列的元素.

所以经过这一波操作，我们得到了如下形式：

接下来继续考虑，如果存在,那么将第行加到第一行上，重复我们之前的操作即可，最终我们总可以得到1-1位置的元素可以整除任何一个元素.

然后我们对做同样的处理，此时我们只在下边的行进行操作，所以任何行为不会影响到1-1位置，同时我们可以看到的操作不会对对下边元素的整除性带来影响，因此最终我们能得到：

其中,且可以整除下边的任何一个元素.

重复上述操作，最终就能得到我们想要的结论，最后我们记对角线的元素(按次序)分别为：(不为0的元素)，且有：,由此命题得证.

主理想环

下边我们考虑主理想环，很遗憾的是主理想环没有带余除法即使我们可以做除法，但是往往这样做一定要乘上一个不可逆元，无法用初等矩阵表示，所以我们不能像欧式整环那样方便操作了.

定义：

这里的长度就可以来替代函数了.

同样的，我们仍然考虑1-1位置的元素，如果存在使得：.那么我们考虑它的最大公因子：(不妨记这两个数为且处于第一列和第二列的位置)

因此我们有. 但是我们无法直接用三类初等变换将第一列直接变为(那意味着要再第一列乘,无法确定是否可逆)，为此我们替换第三类初等变换为：

现在我们以一个实际例子来看看如何操作：

不妨看二阶矩阵：

我们的目的是找到可逆矩阵使得1-1的位置变为最大公因子，1-2的位置变为0，那么注意到：存在使得：，我们可以得到：

所以：

因此我们第一步已经完成，再看第二部：因为：,所以：

因此：

注意到:我们要求的是可逆矩阵，现在看看我们所乘的矩阵是否为可逆矩阵，刚好行列式为-1所以是可逆矩阵，我们现在将这种做法推广至一般.

（这个地方矩阵打的有点问题，那个1的位置错位了....）由于是的公因子，所以存在,由此上述矩阵便有逆矩阵：

注意到每次操作后都会严格递减，因此有限步之后必然可以整除每一个元素，然后重复之前的操作就行了.

由此我们得到了定理：

设 为主理想整环, 则 上任何一个 矩阵都等价于一个形如

的矩阵, 其中 且 .我们将这样的矩阵称为矩阵的标准型.且对角线上的元素称为标准型的不变因子.

我们可以看到上述定义并不是完美的，他们是否唯一？(即使是相伴意义下，我们暂时也说不清)是否一定具有个，这些我们暂时不能肯定，为此同高等代数一样，我们也引入行列式因子:

称, 如果需要指明矩阵) 为 中所有 阶子式的最大公因子 (这在 相伴意义下是唯一的), 为 的 阶行列式因子.

由行列式的性质, 每个 阶 子式一定是一些 阶子式的 -线性组合, 因此我们有 . 需要注意的是, 定义行列式因子需要最大公因子条件成立, 因此这一定义可以推广 到唯一分解整环,却不能推广到一般整环上.

我们可以看到，在标准型下行列式因子可以立刻计算出来，那么是否 同一矩阵在在初等变换下的行列式因子是相同的呢？如果是这样，那这也给我们提供了一种计算矩阵标准型的方法.

设 为主理想整环, , 且

为 的标准形, 则 为 的秩, 而且在相伴意义下有 , 这 里我们规定 .

证明：注意到根据我们上边的证明：存在可逆矩阵使得：

其中为标准型，我们只用证明左乘和右乘不会改变行列式因子的最大公因子即可.

令, 则容易看出 的 每一行都是 的各行的 线性组合. 利用行列式的性质容易看出(Cauchy-Binet公式), 对任何 的任何一个 阶子式都是 的若干 阶子式的线性组合. 由此 我们得到, 的 阶行列式因子 一定是 的因子.

另一方面, 上 式可以写成 , 由同样的推理又得到 是 的因子. 因此 , 从而 有相同的行列式因子.

记 , 则 注意到对任何矩阵 , 其转置矩阵 与 有 相同的各阶子式, 从而有相同的各阶行列式因子. 因此由上面的推理得到, 对所有 . 于是对任何可逆矩阵 与 有相同的行列式因子. 现在假设

是 的标准形, 其中 . 则上面的结论说明 与 的各阶行列式因子都相同. 而直接计算 可知, 的行列式因子 为

由此可知 等于 的秩, 且 定理证毕.

    科二必听之歌-我不转弯，哈哈！