【原】高等代数(线性代数)的50个学习要点（二）

第三章  矩阵的秩与线性方程组

本章的主要内容是探讨矩阵论的核心概念——矩阵的秩。首先充分展开对抽象的数域上的维向量空间中向量组线性相关、线性无关和线性表出理论的讲解，其中重点是引入向量组线性相关的基本概念。然后讨论向量组的线性表出与极大无关组的概念，并且用行（列）向量组的秩来定义矩阵的秩，其中特别要注意简化阶梯阵与行初等变换的作用，因为这可以使有关矩阵秩的性质的讲解更加透彻。接下来我们用矩阵秩的精练语言重新描述线性方程组解空间的（几何）结构，这样就将学习的重点从解方程组转向证明整个解空间的性质。最后将矩阵秩与分块矩阵结合起来，进一步给出矩阵的等价（即相抵）标准形和分块矩阵的秩等有用的技巧。

学习要点11：维向量空间中向量组的线性相关、线性无关

为了用弄清楚线性方程组的解空间的结构，首先要学会高维向量空间的语言，但是这种语言对习惯于3维空间的初学者来说是十分陌生的。在物理学中，为了讲爱因斯坦的相对论，需要引入4维空间，其中多加的1维是表示时间。人们花费了几十年的时间，才慢慢接受了相对论和4维空间。而在我们这门课中，研究的对象直接就从3维向量空间一下子跳到任意维的向量空间（即维的向量空间，例如100维、或者10000维的向量空间），这对学生们来说是一个很大的挑战。因此我们应该充分地运用类比的方法，在比较低维数的空间场合（例如4维或5维）让学生熟悉这种十分抽象的语言。

为了要描写高维空间中的几何关系，学生们还要真正理解和熟悉线性组合、线性相关、线性表示（或线性表出）、线性无关、两个向量组等价等最基本的概念。例如，线性表示与线性相关的概念是3维空间中向量组的共线与共面概念的直接推广，而线性无关则是3维向量组不共线或不共面的推广。要熟练掌握用解线性方程组的方法来判别维向量组线性相关（或线性无关）的基本方法。

线性相关的基本性质：

① 含有两个成比例的向量的向量组必线性相关；
② 若向量组中有部分向量线性相关，则这组向量也线性相关；
③ 一个向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量可以由其余线性表示。

用线性方程组判定向量组线性相关的方法是：令 ，则线性相关的充要条件是线性方程组有非零解。反之，线性无关的充要条件是线性方程组只有零解。

线性无关的基本性质：

（1）如果线性无关，线性相关，则可由线性表示，并且表示方法唯一；
（2）如果可以由 线性表示，并且线性无关，则 ；
（3）两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。

用行列式判定个维向量的线性无关的方法是由这个向量依次组成的方阵的行列式不等于零，如果这个方阵等于零，则这个向量线性相关。

习题3.1 在中已知向量,,并且向量组线性无关,证明:向量组线性无关.

提示:考虑设存在数使得

下面我们的目标即是证明:.

学习要点12:向量组的极大无关组

如果向量组的一个部分组线性无关，并且向量组中的每一个向量都可以由这个部分组线性表示，那么这个部分组就称为极大无关组。要熟练地运用行初等变换的方法来计算向量组的极大无关组。

一个向量组的极大无关组所含向量的个数是确定的，这个数即为向量组的秩。

利用矩阵求向量组的极大无关组的方法是：将给定的向量作为列向量组成矩阵，对进行行初等变换，化为简化阶梯阵，则的列向量组的极大无关组所对应的 的列向量组即为所求极大无关组，而的其余列向量的分量即为该向量对应的的列向量由极大无关组线性表示的表示系数。

习题3.2 求向量组

的秩和一个极大无关组,并将其余的向量用该极大无关组来线性表出.

提示:以为列向量构造矩阵,然后对该矩阵作行初等变换化为简化阶梯阵.

学习要点13:矩阵的秩

一个矩阵的行向量组的秩称为“行秩”，它的列向量组的秩称为“列秩”，在证明矩阵的行秩与列秩相等时，必须要用到简化阶梯阵。一个矩阵的秩就是它的行秩。

初等变换不改变矩阵的秩。要熟练地运用行初等变换的方法来计算矩阵的秩。

习题3.3 设是矩阵,是矩阵,证明:

提示:先证明,再证明.其中后者证明有赖于前者,需考虑矩阵转置后秩保持不变性.

学习要点14:矩阵的秩与行列式的关系

矩阵的秩除了可以用向量组的秩来定义，它还可以用行列式来刻画，具体来说，可以用它的子行列式是否为零来确定它的秩。

习题3.4 证明:

其中是矩阵,是矩阵.

学习要点15:线性方程组解的结构

（1）（齐次线性方程组解的结构）

★

如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，当小于未知量的个数 时，该方程组有非零解，此时该方程组的基础解系含有个向量。

”

（2）（非齐次线性方程组解的结构）

★

①线性方程组有解的充要条件是与增广矩阵有相同的秩；
②如果有解，并且的秩为, 则当等于未知量的个数时，该方程组有唯一解， 而当时，方程组有无穷多解，此时该方程组的通解可以由它的一个特解和它的导出组的基础解系来线性表示。

”

特别要注意学会运用齐次线性方程组来证明有关矩阵秩的性质。

习题3.5 设是矩阵,是矩阵,证明:

提示:其中一个为0则结论显然,着重考虑且情况.将按照向量分块,再考虑与齐次线性方程组的基础解系的关系.

学习要点16：矩阵的等价（即相抵）标准形

矩阵的等价（即相抵）标准形是一个典型的分块矩阵，它在理论证明题中有不少用处。

习题3.6 证明:

提示:不妨设,再借助等价标准型定理.特别需要注意的是,这道题对分块矩阵的乘法技巧有一定的要求.

学习要点17：分块矩阵的秩

分块矩阵的奇妙之处在于它本身也可以有“初等变换”，即把原来的以数作为元素的初等变换扩大为以分块矩阵作为“元素”的初等变换。这种初等变换在证明分块矩阵的行列式命题时经常会用到。

习题3.7 设矩阵可逆,证明:

提示:(1)对分块矩阵

作列初等变换,目标将矩阵化为零矩阵;
(2)先将分块矩阵

中的化为零矩阵,再利用(1)中结论.

第四章  一元多项式

本章主要讲授一元多项式的经典理论，其中包括多项式的四则运算、最大公因式、标准分解式、多项式的重根及有理数域上的多项式等常规内容。

学习要点18:多项式的四则运算

一元多项式的性质与整数的性质有许多是相同的，多项式知识是中学代数的延伸。要熟练掌握长除法，因为后面求最大公因式需要用长除法。

对多项式的加法、减法和乘法，关于次数成立以下的关系：
①

  ②

关于多项式的除法，有以下常用的性质：
（1）如果，，则；
（2）如果，，则；
（3）如果，则对任意的，有；
（4）如果，，则，其中是常数；
（5）（带余除法定理）对任意的和，其中，存在唯一的 和，使得

  这里，或者。

可以用综合除法来求多项式函数的值，或者判断一个数是否为多项式的根。

习题4.1 设及为三个多项式.证明:当且仅当与除以所得到的余式相等.

提示:""考虑由带余除法定理可设

余式相等此即.
""显然.

学习要点19:最大公因式

求两个最大公因式的主要计算方法是辗转相除法。关于最大公因式，有以下常用的性质：

（1）如果是多项式和的最大公因式，则存在和 ，使得

（2）与互素的充要条件是存在和，使得

习题4.2 证明:当且仅当,时,

提示:同样地,需要证明充分性和必要性.这里需要借助多项式互素的充分必要条件.

习题4.3 证明:的充分必要条件是:

学习要点20:标准分解式

任何一个次数大于零的多项式都可以唯一地分解成不可约因式的乘积，这个乘积称为标准分解式。多项式的标准分解式其实是中学因式分解知识的深化与提升。

任何次多项式在复数域中有个根，每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次与二次不可约多项式的乘积。要学会在不同的数域中分别分解类型的多项式。

习题4.4 证明:多项式与互素的充分与必要条件是,对任意的正整数,与都互素.

提示:该题有两种方法可来证明,其中一个就是用唯一分解定理.考虑

由此可得与的标准分解式,对照一下立得结论.

学习要点21:多项式的重因式

多项式的导数可以帮助我们判别多项式是否有重因式，主要性质如下：

（1）没有重因式的充要条件是；
（2）如果是的重因式，则是的重因式。

习题4.5 求的值,使得多项式有重根.

提示:考虑,使用辗转相除法可得或者,分别有重根和.

学习要点22:有理数域上的多项式

（1）（有理根判别法）如果整系数多项式

具有有理根，这里与互素，则；

用综合除法对进行试验，可以确定整系数多项式的有理根。

（2）（艾森斯坦判别法）对整系数多项式

如果存在一个素数，使得
①不整除；
②；
③不整除

则在有理数域上不可约。

习题4.6 设

为整系数多项式.证明:若以及都不能被3整除,则没有有理根.

提示:运用反证法,假设多项式有有理根,则由条件可得3不能整除,3也不能整除.继而推知,导出矛盾.

习题4.7 求有理系数方程的有理根.

提示:注意到原方程的首项系数为1,因此有理根必为整数根,且为常数项的因数.(想想为什么?)考虑

考查的因数依次检验,可知2是唯一的有理根.

文稿&审核|陈跃(上海师范大学副教授)
选题&排版|朱善军(同济大学研一学生)

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