梅森素数

形如2^p－1的一类数，其中指数p是素数，常记为M_p 。如果梅森数是素数，就称为梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^p－1的先河。他在名著《几何原本》第九章中论述完全数时指出：如果2^p－1是素数，则 2^p－1（2^p－1）是完全数。

前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。

目前仅发现50个梅森素数，最大的是2^77232917－1（即2的77232917次方减1），有23249425位数。

素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。素数有无穷多个，但目前却只发现有极少量的素数能表示成 2^p－1（p为素数）的形式，这就是梅森素数（如3、7、31、127等等）。它是以17世纪法国数学家马林·梅森的名字命名。

1640年6月，费马在给马林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质，我相信它们将成为今后解决素数问题的基础。” 这封信讨论了形如2^p－1的数。

马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，他与包括费马在内的很多科学家经常保持通信联系，讨论数学、物理等问题。17世纪时，学术刊物和科研机构还没有创立，交往广泛、热情诚挚的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁，许多科学家都乐于将成果告诉他，然后再由他转告给更多的人。梅森还是法兰西学院的奠基人，为科学事业做了很多有益的工作，被选为 “100位在世界科学史上有重要地位的科学家” 之一

梅森素数是数论研究中的一项重要内容，自古希腊时代起人们就开始了对梅森素数的探索。由于这种素数具有着独特的性质（比方说和完全数密切相关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括欧几里得、费马、欧拉等）和无数的数学爱好者对它进行探究。

在现代，梅森素数在计算机科学、密码学等领域有重要的应用价值。它还是人类好奇心、求知欲和荣誉感的最好见证。

2300多年来，人类仅发现50个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为 “数海明珠” 。自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数，因此寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。

梅森素数的探寻难度极大，它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰苦的计算。

至2018年4月，已经发现50个梅森素

它们的数值、位数、发现时间、发现者等列表如下：

M1～M12

序号	p	梅森素数	位数	发现时间	发现者
	2	3	1	古代	古人
	3	7	1	古代	古人
	5	31	2	古代	古人
	7	127	3	古代	古人
	13	8191	4	1456年	无名氏
	17	131071	6	1588年	Pietro Cataldi
	19	524287	6	1588年	Pietro Cataldi
	31	2147483647	10	1772年	Leonhard Euler
	61	2305843009213693951	19	1883年	Ivan Mikheevich Pervushin
	89	618970019642690137449562111	27	1911年	Ralph Ernest Powers
	107	162259276829213363391578010288127	33	1914年	Ralph Ernest Powers
	127	170141183460469231731687303715884105727	39	1876年	Édouard Lucas

M13～M34

序号	p	位数	发现时间	发现者	计算机
	521	157	1952 / 01 / 30	Raphael Mitchel Robinson	SWAC
	607	183	1952 / 01 / 30	Raphael Mitchel Robinson	SWAC
	1,279	386	1952 / 06 / 25	Raphael Mitchel Robinson	SWAC
	2,203	664	1952 / 10 / 07	Raphael Mitchel Robinson	SWAC
	2,281	687	1952 / 10 / 09	Raphael Mitchel Robinson	SWAC
	3,217	969	1957 / 09 / 08	Hans Riesel	BESK
	4,253	1,281	1961 / 11 / 03	Alexander Hurwitz	IBM 7090
	4,423	1,332	1961 / 11 / 03	Alexander Hurwitz	IBM 7090
	9,689	2,917	1963 / 05 / 11	Donald Bruce Gillies	ILLIAC II
	9,941	2,993	1963 / 05 / 16	Donald Bruce Gillies	ILLIAC II
	11,213	3,376	1963 / 06 / 02	Donald Bruce Gillies	ILLIAC II
	19,937	6,002	1971 / 03 / 04	Bryant Tuckerman	IBM 360/91
	21,701	6,533	1978 / 10 / 30	Landon Curt Noll & Laura Nickel	CDC Cyber 174
	23,209	6,987	1979 / 02 / 09	Landon Curt Noll	CDC Cyber 174
	44,497	13,395	1979 / 04 / 08	Harry Lewis Nelson & David Slowinski	Cray 1
	86,243	25,962	1982 / 09 / 25	David Slowinski	Cray 1
	110,503	33,265	1988 / 01 / 28	Walter Colquitt & Luke Welsh	NEC SX-2
	132,049	39,751	1983 / 09 / 20	David Slowinski	Cray X-MP
	216,091	65,050	1985 / 09 / 06	David Slowinski	Cray X-MP/24
	756,839	227,832	1992 / 02 / 19	David Slowinski & Paul Gage	Harwell Lab's Cray-2
	859,433	258,716	1994 / 01 / 10	David Slowinski & Paul Gage	Cray C90
	1,257,787	378,632	1996 / 09 / 03	David Slowinski & Paul Gage	Cray T94

M35～M50

序号	p	位数	发现时间	发现者	国家
	1,398,269	420,921	1996 / 11 / 13	GIMPS / Joel Armengaud	法国
	2,976,221	895,932	1997 / 08 / 24	GIMPS / Gordon Spence	英国
	3,021,377	909,526	1998 / 01 / 27	GIMPS / Roland Clarkson	美国
	6,972,593	2,098,960	1999 / 06 / 01	GIMPS / Nayan Hajratwala	美国
	13,466,917	4,053,946	2001 / 11 / 14	GIMPS / Michael Cameron	加拿大
	20,996,011	6,320,430	2003 / 11 / 17	GIMPS / Michael Shafer	美国
	24,036,583	7,235,733	2004 / 05 / 15	GIMPS / Josh Findley	美国
	25,964,951	7,816,230	2005 / 02 / 18	GIMPS / Martin Nowak	德国
	30,402,457	9,152,052	2005 / 12 / 15	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone	美国
	32,582,657	9,808,358	2006 / 09 / 04	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone	美国
	37,156,667	11,185,272	2008 / 09 / 06	GIMPS / Hans-Michael Elvenich	德国
	42,643,801	12,837,064	2009 / 04 / 12	GIMPS / Odd Magnar Strindmo	挪威
	43,112,609	12,978,189	2008 / 08 / 23	GIMPS / Edson Smith	美国
48*	57,885,161	17,425,170	2013 / 01 / 25	GIMPS / Curtis Cooper	美国
49*	74,207,281	22,338,618	2016 / 01 / 07	GIMPS / Curtis Cooper	美国
50*	77,232,917	23,249,425	2017 / 12 / 26	GIMPS / Jonathan Pace	美国

2017年12月26日,美国数学家乔纳森·佩斯发现了有史以来第50个，也是最大的一个梅森素数，位数超过2300万位，这是一项重大的数学发现

佩斯发现的这个素数可以表示成2^77232917-1。

日本的一家出版社想出一个绝妙的创意，为目前发现的最大素数出了一本书。这本书的名字就叫做《2017年最大的素数》，装帧设计非常简单，一共720页全是数字，其实就是把佩斯发现的素数从头到尾给印出来了。

这本奇特的书在发行两周后迅速攀上日本亚马逊数学类畅销书第1位，4天时间就售出了1500本。日本虹色社的工作人员说，这本书的销量远超过他们的预期，以至于新书刚出版就要加印。

寻找梅森素数在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是目前发现已知最大素数的最有效途径。自欧拉证明M₃₁为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。

寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，如M_1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅需要高功能的计算机，还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因此它的研究推动了 “数学皇后” ——数论的发展，促进了计算数学和程序设计技术的发展。

寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的16个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能，这是一个前景非常广阔的领域。它的探究还推动了快速傅立叶变换的应用。

梅森素数在实用领域也有用武之地，现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，也由于发现新的 “大素数” 所引起的国际影响，使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科技水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，同时也是整个科学发展的里程碑之一。 

梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。