【原】一个函数单调的证明（A）

证明增函数（0＜x＜1）y=(1+1/x)^x+(1+x)^1/x.

1、f(x)=(1+1/x)^x、f′(x)=f(x)[ln(1+1/x)-1/(1+x)]=f(x)*K(x)＞0

2、y=f(x)+f(1/x)、y′=f(x)*K(x)-(1/x²)f(1/x)*K(1/x)＞0？（0＜x＜1）

3、（0＜x＜1）f(x)＞1+x 、f(1/x)＜e-(e-2)x 、1/f(1/x)＞1/[e-(e-2)x]

      f(x)/f(1/x)＞(1+x)/[e-(e-2)x]＞(?)(1/x²)K(1/x)/K(x)（e≥2.718）

——导数分析法：(1+x)K(x)＞[e-(e-2)x](1/x²)K(1/x)（得取两次导数）

——级数分析法：

（1）(1+x)K(x)-[e-(e-2)x](1/x²)K(1/x)

=∑(n=2…∞)(1/n){1+x-x^n-2[e-(e-2)x]}/(1+x)ⁿ＞0？（0＜x＜1）

（2）n=2：1+x-x^n-2[e-(e-2)x]=1-e+(e-1)x＜0（0＜x＜1）

（3）n≥3：1+x-x^n-2[e-(e-2)x]＞0，证明如下：

——特殊证法：

（0＜x＜1）只需证明n=3时成立即可：

y=1-(e-1)x+(e-2)x²，对称轴x=(1/2)(e-1)/(e-2)＞1，检验成立。

——通用证法：

设 y=x^n-2[e-(e-2)x]/(1+x)＜1

y′/y=(n-2)/x-(e-2)/[e-(e-2)x]-1/(1+x)＞0

x*y′/y=n-2-e/[e-(e-2)x]+1/(1+x)＞0

因-e/[e-(e-2)x]与1/(1+x)同为减函数，由x=1解得n≥(3+e)/2、

当e=3或2.718时，n≥3，得证。

（4）∑(n=2…∞)(1/n){1+x-x^n-2[e-(e-2)x]}/(1+x)ⁿ.

=∑(n=2…m)(1/n){1+x-x^n-2[e-(e-2)x]}/(1+x)ⁿ+∑(n=(m+1)…∞)(1/n){1+x-x^n-2[e-(e-2)x]}/(1+x)ⁿ＞0（0＜x＜1、m＞2）

（5）只需证明∑(n=2…m)(1/n){1+x-x^n-2[e-(e-2)x]}/(1+x)ⁿ＞0即可

（6）必要条件：x=0时，g(m)=∑(n=2…m)(1/n)＞e/2（1.359）.

g(5)=1.283、g(6)=1.45、g(7)=1.593。取e=3，得m=7.

（7）代数难题：（？）（5次不等式问题）

∑(n=3……7)(1/n)[1+x-x^n-2(3-x)]/(1+x)^n-2＞1-x（0＜x＜1）