例题:(初中数学综合题)如图,以△ABC的边AB为直径画⊙O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE,DE,BD,且BE交AC于点F,∠DEB=∠DBC. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积. 知识回顾 圆周角定理推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。 切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 分析与解答:(请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整,并且可能还有其他不同的解题方法)(1)要证BC是⊙O的切线,只要推出AB⊥BC即可,而∠ADB的度数是90°,结合条件可以求出∠ABD+∠DBC=90°,根据切线判定即可得证;(2)连接OD,分别求出三角形DOB面积和扇形DOB面积,两部分的面积相减即可求出结果. (1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,(直径所对的圆周角是90°) ∴∠A+∠ABD=90°,(直角三角形的性质) ∵∠A=∠DEB,(同弧所对的圆周角相等) ∠DEB=∠DBC,(已知条件) ∴∠A=∠DBC,(等量代换) ∵∠A+∠ABD=90°,(已证) ∴∠DBC+∠ABD=∠ABC=90°, ∴AB⊥BC, ∴BC是⊙O的切线;(切线的判定) (2)解:连接OD,如图, (得到三角形DOB和扇形DOB) ∵BF=BC=2,∠ADB=90°, ∴∠CBD=∠FBD,(等腰三角形“三线合一”) ∵OE∥BD, ∴∠FBD=∠OEB,(平行线的性质) ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE,(等边对等角) ∴∠CBD=∠DBE=∠OBE=1/3∠ABC=30°, ∴∠CBF=∠OBD=60°, ∵BF=BC=2,OD=OB, ∴△BCF和△BOD是等边三角形, ∴∠C=∠BOD=60°,∠BAC=30°, (用勾股定理或者函数知识求出AB) ∴AB=2√3, ∴⊙O的半径为√3, ∴扇形DOB的面积=60/360×π×3=π/2, 等边△BOD的面积=1/2×√3×(√3×√3/2)=3√3/4, (详细计算过程省略) ∴阴影部分的面积=扇形DOB的面积-三角形DOB的面积 =π/2-3√3/4. (完毕) 这道题是关于圆的综合题,考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和判定、扇形面积的计算以及等边三角形面积的计算,解题的关键是推出等边三角形。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。 |
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