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例题：（初中数学题 有关圆与菱形的知识）如图，BD为半圆O的直径，且BD=8，点A为BD延长线上一点，AE与半圆O相切于点E，连接BE，DE，过点B作BC⊥AE交AE的延长线于点C，交半圆于点F． （1）求证：BE平分∠DBC； （2）当AD长是多少时，四边形BOEF是菱形. 知识回顾 菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）；③一组邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。 分析：（1）因为AE与半圆O相切于点E，所以连接OE是常用的辅助线，再证明OE∥BC，即可推出∠OEB=∠EBC，再证明∠OEB=∠OBE即可得出结论． （2）首先连接EF，OF，可以推测出当AD=4时，四边形BOEF是菱形，再根据条件想办法证明△ODE，△OBF，△OEF都是等边三角形，即可推出“四边形BOEF是菱形”成立． 我们想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！ 解答：（1）证明：连接OE，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴AC⊥OE， ∵BC⊥AE， ∴OE∥BC， ∴∠OEB=∠EBC， ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∴∠EBC=∠OBE， ∴BE平分∠DBC． （2）解：当AD=4时，四边形BOEF是菱形． （以下推理过程有多种不同方法，此处仅选择一种示范） 理由：连接EF，OF，如图， ∵BD=8，AD=4， ∴AD=OD=OB=4， ∵∠AEO=90°， ∴DE=1/2AO=4， ∴DE=OE=OD=4， ∴△ODE是等边三角形， ∴∠EOA=60°， ∵OE∥BC， ∴∠OBF=∠AOE=60°， ∵OF=OB， ∴△OBF是等边三角形， ∴BF=OB=OF，∠FOB=60°， ∴∠EOF=60°， ∵OE=OF， ∴△EOF是等边三角形， ∴EF=OE=OB=BF， ∴四边形BOEF是菱形． （完毕） 这道题属于综合题，考查了切线的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造图形以方便解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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