切线 等角 相似 三角 垂径 勾股 选择多 考验你的基本功 解读H25

H25.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合）。过点P作射线l⊥AB，分别交BC，弧BC于点D，E，在射线l上取点F，使FC=FD。（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是弧BC的中点时，①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点四边形的形状，说明理由；②若tan∠ABC=3/4，AB=20，求DE的长。

解读：

（1）欲证FC是⊙O的切线，只需证∠OCF=90°即可。

为此，连结OC，由FP⊥AB，得∠B+∠PDB=90°，

由FC=FD，得∠FDC= ∠FCD，

又∠FDC=∠PDB，

得∠B+∠FCD =90°，

由OB=OC，得∠B=∠OCB，

所以∠OCB +∠FCD =90°，

即∠OCF=90°，

所以FC是⊙O的切线；

（2）①连CE，BE，OE，利用垂径定理和等边三角形性质，

可以证明四边形OBEC的对角线互相垂直平分，从而判定

四边形OBEC为菱形。

理由：由点E为弧BC的中点，得OE垂直平分BC，

设垂足为点G，

由OC=OB，得OE平分∠COB，

由当A=60°时，得∠COB=120°，

所以∠COE=60°，且OC=OE

因而等边△OCE，

所以BC垂直平分OE，

即四边形OBEC为菱形；

②在Rt△OBG中，

OB=10，tan∠ABC=3/4

设OG=3k，BG=4k，

则OB=5k=10，k=2，

所以OG=6，BG=8，EG=4，

在Rt△DEG中，EG=4

tan∠GED= tan∠ABC=3/4

设DG=3m，GE=4m=4，

则m=1,DE=5m=5。

综述：

1.切线的判定，判定定理（找直角）是首选。

2.菱形的判定，方法很多，此处用对角线互相垂直平分较合适。

3.求线段长。在直角三角形中，利用角等，三角函数值等作转换。

4.本题过程比较繁琐，能发现的等角，相似，垂直众多，作出合适的选择很考验基本功。