哈喽,大家好,我是可乐 总结了一些常见的概率与统计类的数据分析面试题,不定期更新……
一个随机事件的所有可能的值X,且每个可能值X都有确定的概率P,X就是P(X)的随机变量。比如掷骰子中出现的点数
所以划分二者的依据是随机变量是否可数
若X和Y不相关,通常认为X和Y之间是没有线性关系,但不排除没有其他关系 若X和Y独立,是没有关系,互不干扰 因此,“不相关”是一个比“独立”要弱的概念
分别从离散型和连续型两方面说: 离散型随机变量的分布
二项分布记做X~B(n,p),X表示n次试验中的成功次数,我们要求的是成功的次数
如掷硬币,只有正面朝上或反面朝上两种情况
如某加油站,平均每小时来加油的车辆为10辆,泊松分布求的这个加油站每小时前来加油的车辆次数的概率 关于离散型随机变量分布可参考: 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的分布
均匀分布在自然情况下极为罕见,它的概率密度函数为:
其概率密度函数为: 指数分布具有无记忆的关键性质。这表示如果一个随机变量呈指数分布,当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。 关于连续型随机变量的分布,可参考: 终于搞清楚正态分布、指数分布到底是啥了!
只表示相关的方向 衡量两个变量的总体误差,方差是协方差的特殊情况,即当两个变量是相同的情况。 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值(你变大,我也变大,协方差就是正的)。如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。 也就是说,协方差为正,表示两个变量同变化,为负,不同变化 并且协方差的绝对值不反映线性相关的程度(其绝对值与变量的取值范围有关系) 但是嘞协方差为0的两个随机变量是不相关的
不仅表示线性相关的方向,还能衡量其相关程度 研究变量之间线性相关程度的量,取值范围是[-1,1]。 相关系数也可以看成协方差:一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
标准正态分布中位数等于期望
正态分布又叫高斯分布,是一个钟形曲线,曲线对称,中央部分的概率密度最大,越往两边,概率密度越小。μ决定了曲线的中央位置,σ决定了曲线的分散性,σ越大,曲线越平缓,σ越小,曲线越陡峭。 很多实际问题都是符合正态分布的,如身高、体重等。正态分布在质量管理中也应用的非常广泛,“3σ原则”就是在正态分布的原理上建立的。
在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律。通俗地说,这个定理就是,在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。 在重复投掷一枚硬币的随机试验中,观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验,出现正面的频率可能不同,但当试验的次数n越来越大时,出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。这就是大数定律。
假设一组随机变量相互独立且同分布,当n足够大时,均值的分布接近于正态分布 中心极限定理作用:
小概率反证法。即为了检验一个假设是否成立,我们先假设它成立,在原假设成立的前提下,如果出现了不合理的事件,则说明样本与总体的差异是显著的,就拒绝原假设,如果没有出现不合理的事件,就不拒绝原假设。 这里所述的不合理的事件指的就是小概率事件,通常情况下我们认为一个小概率事件基本上不会发生,如果发生了,说明它就不是一个小概率事件了,所以要拒绝原假设。
第I类错误:弃真,原假设为真,却被我们拒绝了。
我们要尽可能地将犯两类错误的概率降到最低。但是,在样本容量固定的前提下,减少犯第I类错误的概率,必然会增加犯第II类错误的概率,一般来说,我们总是先控制犯第I类错误的概率,使它不大于显著性水平。而犯第II类错误的概率依赖于样本容量的大小,因此对样本容量的选择上,也要有所考量。
P(A|B)=P(AB)/P(B),条件概率P(A|B) 指在事件B发生的条件下事件A发生的概率,P(AB)表示事件A和B同时发生的概率,P(B)是事件B发生的概率,其演化式可以得到:P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
假设事件B有两种发生方式,与事件A一起发生;不与事件A一起发生,那么可以用下面的公式得到事件B发生的概率: 又由条件概率可以推导出: 代入得到: 这就是全概率公式,由条件概率计算一个特定事件的概率。
假如已知的条件概率是P(B|A),那么贝叶斯公式则提供了一种计算逆条件概率的方法,也就是要求P(A|B)的概率。 刚刚也推导了 再将全概率公式P(B)代入,就得到: | 发现一个有趣的案例 思路: 嫌疑人甲盗窃的概率为P(A)=10% 目击者证言可信度的概率为P(C) 在甲盗窃的前提下目击者称盗窃者是甲的概率为P(C|A)=80% 在甲盗窃的前提下目击者称盗窃者不是甲的概率为P(C|A)=20% 现在要求的是P(A|C)也就是目击者证言可信度准确的前提下甲盗窃的概率。 我们要求的是一个条件概率P(A|C),已知的一个条件概率P(C|A)刚好是要求的条件概率的逆概率,这里就要用到贝叶斯公式了。 持续更新中...... |
|