【原】与等腰直角三角形相关的压轴题

知识储备：

1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

2、勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理逆定理：若一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形中边角间的数量关系：

4、等腰直角三角形中常见的图形背景：

1°以斜边中点为顶点作90°角；2°以直角顶点为顶点作等腰直角三角形；以上两种背景都能产生旋转型的全等三角形；3°半角模型，即以直角顶点作45°半角，通过旋转构造全等三角形。

压轴题赏析：

解法分析：本题的背景是等腰直角三角形以斜边中点为顶点作90°角。通过联结CD，得到一组全等三角形。不论E、F是否在边AC或BC上，总能通过面积的和差关系找到▲DEF、▲CEF和▲ABC之间的数量关系。需要注意的是，不论点在线段或其延长线上，添线的方法和证明的思路是不变的。

本题的第一问除了可以设边长，用代数的方法计算以外，还可以联结CD，证明三角形全等，进行面积转化，其解法就同第二问了。

本题的第三问点E和点F运动到了延长线上，此时就要将面积和变为面积差了，但是解决问题的方法依旧是不变的。

解法分析：本题的背景是等腰直角三角形以斜边中点为顶点作90°角。第一问同上一题证明全等的方法一致。第二问是建立两条线段间的函数关系式，可以通过将两条线段放在直角三角形中， 利用勾股定理建立函数关系。本题的第三问是等腰三角形的存在性问题，需要分类讨论，值得注意的是∠FAG是定角45°，由此从角度切入，寻找边之间的数量关系。

本题的第二问可以选择不同的直角三角形运用勾股定理建立函数关系，只要这个直角三角形的三条线段都可以用含x或y的代数式表示即可。

解法分析：本题的背景是等腰直角三角与垂直平分线、角平分线的综合应用。本题的第一问就是一组平行线下的X型全等三角形；第二问同上一题，将线段转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立数量关系；第三问是角平分线逆定理和30°-60°-90°三角形的综合应用。

本题的第三问体现了30°-60°-90°直角三角形边之间的灵活转化，即熟练地运用1:2:√3这三者间的数量关系。