“三个事件独立”与“三个事件两两独立”

本文以问答的形式，展示知识。

问题1、两个事件相互独立的充要条件是什么？

答：A、B独立 <=> P(AB)=P(A)P(B)。

问题2、“三个事件相互独立”与“三个事件两两相互独立”等价吗？

答：不等价，这是两种不同的概念。

问题3、三个事件A、B、C两两相互独立能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)吗？

答：不能。三个事件A、B、C两两相互独立等价于P(AB)=P(A)P(B)，且P(AC)=P(A)P(C)，且P(BC)=P(B)P(C)，但是不能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。可以通过一个例子来说明。

例：从1,2,3,4中随机选出一个数字，记事件A=“取出的数字为1或2”，B=“取出的数字为1或3”，C=“取出的数字为1或4”，则AB=BC=AC=ABC=“取出的数字为1”，显然P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=1/4，满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，所以A、B、C两两独立，但是P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)。

问题4、“三个事件A、B、C相互独立“是如何定义的？

答：满足以下两个条件则称三个事件A、B、C相互独立：①这三个事件两两相互独立；②A与BC独立，且B与AC独立，且C与AB独立。

用符号表示为：
A、B、C相互独立<=>P(AB)=P(A)P(B)，且P(AC)=P(A)P(C)，且P(BC)=P(B)P(C)，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。

要注意：符号形式与①②两条内涵是一致的。

问题5、“三个事件A、B、C相互独立”与“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”等价吗？

答：不等价，按照问题4中的定义，容易知道“三个事件A、B、C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的充分不必要条件.

要注意理解P(ABC)=P(A)P(B)P(C)的意义，该式成立可能说明“A、B独立，且积事件AB与C独立”，也可能说明“A、C独立，且积事件AC与B独立”，还有可能是“B、C独立，且积事件BC与A独立”。

以上。欢迎提出意见，共同讨论。