“三个事件相互独立”与“三个事件两两相互独立”等价吗？

（重点不怕重复）我们只需要两个动作：转发，打赏！

   前几天，大学同学群，刘（LL）同学突然问起了三个事件两两独立的问题，几位同学热心助解！于是，我帮忙梳理如下：

  问题：如何判断两个事件相互独立？ 

   A、B独立 <=> P(AB)=P(A)P(B)。这是充要条件，切记！

   问题：“三个事件相互独立”与“三个事件两两相互独立”等价吗？

   答：不等价，这是两种不同的概念。事实上，事件A，B，C相互独立与两两独立是不同的，事件A，B，C相互独立的话，不仅它们两两独立，而且AB与C，AC与B，BC与A也独立。

   问题：三个事件A、B、C两两相互独立能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)吗?

   答：不能。事件A，B，C两两独立是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)的既不充分也不必要条件。当事件A，B，C相互独立，则有P(ABC)=P(AB)P(C)，P(AB)=P(A)P(B)，所以即有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立.

反过来，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，可能说明“A、B独立，且积事件AB与C独立”，也可能说明“A、C独立，且积事件AC与B独立”，还有可能是“B、C独立，且积事件BC与A独立”。这三可能有一个发生，即满P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，

因此，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)无法推出事件A，B，C两两独立。

   问题：能否举例说明三个事件A、B、C两两相互独立能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)吗?

例：从1,2,3,4中随机选出一个数字，记事件

A=“取出的数字为1或2”，

B=“取出的数字为1或3”，

C=“取出的数字为1或4”，则

AB=BC=AC=ABC=“取出的数字为1”，显然

P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2，

P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=1/4，

满足P(AB)=P(A)P(B)，

P(AC)=P(A)P(C)，

P(BC)=P(B)P(C)，

所以A、B、C两两独立，

但是P(ABC)=1/4≠P(A)P(B)P(C)=1/8。 

或者，博罗米恩环也可以说明。

​

        （你品，你好好品！)

       感谢包（bx）同学供图

最好应景，《武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题数学试卷》（武汉市教育科学研究院命制2023.5.24)第15题就考了这种背景的题目：

​

请同学，老师们自行做出答案！