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清瑕的话 由北美和国内教育界一批资深人士倾力打造的第二届《融汇中西教育论坛》12月4日落下帷幕。论坛上张景中院士进行了一场严谨专业而又深入浅出的数学讲座，将常人眼里深奥的数学解剖成“把数学变容易”，讲座反响强烈。现将张院士自己整理出的线上会议发言稿呈给读者，不仅让您看到张院士的敬业，也让您在教育焦躁中沉下心来，读懂他的用心。 早年就读于北京大学数学力学系，1995年当选中国科学院院士。四川省计算机学会名誉理事长。中国科普作家协会名誉理事长，中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长。主要研究领域为机器证明和教育数学。获1995年中国科学院自然科学一等奖和1997年国家自然科学二等奖。其应用研究获1982年国家发明二等奖。科普创作两次获得国家科技进步二等奖。 谈 谈 教 育 数 学 作者：张景中 
数学教育很重要但很难做好. 改造数学使之更适于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务.四十多年来教学实践和数学基础理论的探索发现，数学可以变得更容易理解和掌握.面积法和消点法把几何变容易了，基于小学知识引入正弦把三角变容易了，这些已经进入教学实践，有了好的效果，并出版了“新思路数学”初中实验教材.建立点几何可以把坐标、向量和复数知识串通，大量问题的解答可以用一行恒等式表示. 微积分的基本概念和定理也能变容易.有关的一系列教学实践有待展开. 
七十年来，数学教育在世界各国遭遇到了不同程度的困难.学生对数学的兴趣降低，解题能力下降.一位著名的美国数学家在一篇有关数学教育的长文中提到，“数学教育的现状令人失望”，“我们所缺乏的不是奉献、资源或者才智：我们没有方向”，“垂头丧气是美国的成年人遇到数学家时的典型反应.他们抱歉地回忆起上过的最后一门数学课，通常也就是让他们从此对数学失去信心的那门课.”[1]数学教师和数学教育家们在众多的改革方案之间徘徊争论而莫衷一是.例如，张奠宙先生在回忆自己从事数学教育历程的一本书中写道，“我一直觉得数学教育还没有总结出本学科的基本原理，还没有站起来成为一门独立的学科.”“21世纪以来，建构主义学习的理论被捧上了天.诸如学习理论的新纪元，认识论的革命等等，不一而足.似乎建构主义是绝对真理，以为建构主义能够提高学生的数学学习水平，解决数学教学中的各种问题.但是，真要举一个用建构主义理论能够提高教学质量的案例都非常困难.”[2(206页)]大家都重视数学教育，七十年来花了很大力气来研究改革，为何收效不大呢？一方面下了很大功夫改革数学教材。另一方面，不遗余力地研究和改革数学教学的方法.但如果有些困难来自于数学知识本身的缺陷或不足，这困难就不可能由数学教育的努力从根本上克服.很多人认为，现在基础教育中的数学，都是几百年甚至几千年前创造出来的，经过千锤百炼，相当成熟了.对于这样的教学内容，除了选择取舍，除了教学法的加工，还有优化改革的余地吗？但是，这些进入了课堂的数学，是在不同的年代，不同的地方，由不同的人，为不同的目的而创造出来的,而且其中很多不是为教学的目的而创造出来的.难道它们会自然而然地配合默契，适于教学和学习吗？两种看法都有道理,而实践是检验真理的标准.只有通过教学实践，才能获得真知.四十多年来的思考和教学实践，表明数学中最基础的部分，经过了千锤百炼的数学知识，仍然可以优化，可以变得更适宜于教学，更容易学习和理解.实际上，有些杰出的数学家，早就认为数学可以变得更容易.阿蒂亚在1976年就任伦敦数学会主席时的演说中说，“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一.”“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解.”1989年，笔者在15年教学经验的基础上，提出了教育数学的概念[3],[4(3-16页,)].所谓教育数学，也就是为教育的数学.改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务.简单而通俗的说，就是要把数学变容易.熟悉了就容易.尽可能把要学的新知识和学生已经熟悉的东西串通起来，旧瓶新酒，推陈出新.简单了就容易.寻求更简单的表述方式，更通用更有力的解题方法，为大量问题提供有章可循的解决途径.想通了就容易.尽量把前后左右的知识串通起来，把道理说清楚.直观了就容易. 形数结合，动静结合，充分利用教育信息技术提供的工具和环境，在数学实验中变抽象为具体，体验数学之美.为此，就要做切实的基础数学的研究.这包括提出新定义新概念，建立新方法新体系，发掘新问题新技巧，寻求新思路新趣味.凡此总总，无不是为教育而做数学.基础教育中的数学，讲的是普适的最一般的数学事实.大道至简，最一般的道理应当是易于表达和理解的.因此，有可能让“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解.”认识到数学可以变容易，是从1974年在新疆教中学数学开始的.在教学中发现，改变定义能把三角概念变得容易掌握；引入面积法能把几何解题变得有章可循.期间，用小学知识解出了两道题，认识到面积法的重要，开始想到几何可能变容易.
这个题目中三角形是任意的，点P也是任意的，如何能求出一个答案呢？一时难住了教研室的所有老师们. 最后发现，利用一个简单的面积比的关系，问题迎刃而解:
其中关键一步是把3个线段比化为面积比，这种转化方法我们后来称之为共边定理.
下面基于小学知识的三个证明，每个都适合于这4种情形.证明对应的图形只画出一种，其余请读者自行补充.
在高校教材[5，242页]中，称这个共边定理是“一个浅显又威力无比的定理”. 它的力量，笔者是在学习华罗庚先生为1978年中学数学竞赛题解所写的前言中提到的题目时开始认识的.【例2】(引自华罗庚为[6]所写的前言) 如图5，直线AB和CD交于L, AD和BC交于K, AC和KL交于G, BD和KL交于F；
华先生指出，这个题目“包含了射影几何的基本原理”.后来笔者在柯朗的名著《什么是数学》[7,194页]中见到此题，是用射影几何中的交比不变性证明的.称它是“完全四边形的这个引入注目的性质.”对这个高等几何里的命题，华先生在该文[6,第3页]中给出了一个只用初中知识的证明：
正如教材[5,第246页]中所评价的，“华罗庚用当时中学的数学知识，把射影几何中两次射影复合的原理普及化.对推动数学竞赛的发展，起了有益的作用,自有他的历史功绩.”
这样简捷的证明并非偶然巧合，类似的证法至少有8种之多，可参看[5,第247页]或[8,第11页].
关于切瓦定理，在一本书[9，第199页]中称之为“这条非常强大的定理”；还这样说[9，第197页脚注]：“切瓦定理的证明超出了本书关注的范围，不过可以在波萨门蒂的《高等欧氏几何：带高中教师和学生们涉猎》一书的第27-31页找到.”而这里用小学知识顺便就给出了证明.几何是不是真地变容易了？受上面两例启发，在大量案例基础上总结出基于小学知识的“三共定理”：
这些定理易学好用，使大量几何题变容易了（参看[10][11]）.其中前两个是熟知的古老命题，但没有得到重视.共边定理则是新的发现.上面的两个例子已经令人惊奇，但更多的案例引人深思.
但为何共边定理如此好用，到1992年才理解其中的奥妙.那年应周咸青博士邀请到美国合作研究几何定理机器证明，我提出用面积方法，他问如何把面积方法实现为计算机可执行的算法呢？夜里想了一个例子，用面积法机械地证明平行四边形对角线相互平分：
由此认识到，原来共边定理的作用在于消去直线的交点.几何解题的传统思路是做辅助图形，做不出来就设法添加东西，现在反其道而行，从图中减少一些东西，使之简化；最后不能再简化了，就水落石出.
在此认识的基础上，与合作者共同努力，突破了几何定理可读机器证明的难题[12][13][14].这一工作获中国科学院1995年自然科学奖一等奖.在高校教材中[5,第272页]评论称；“虽然消点法还不能适用于所有的几何命题,但消点法在几何自身体系内，打开了寻求万能通法的大门，作为里程碑的标志，巍然屹立在几何史上.”另一高校教材[15,第86页]提到，“这一成果被国际同行誉为使计算机能处理算术那样处理几何的发展道路上的里程碑”；“它结束了两千年来几何证题无定法的局面.”数学教育和人工智能有密切联系.最近，在13届几何自动推理国际会议上，Wolfram公司的一个报告详细介绍了他们实现面积消点法的情形[16].上面主要关注了共边定理和消点法，其实共角定理用处也很多，下面几个例子可见一斑.
三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学与高等数学的一条通道.函数、向量、坐标、复数等许多重要的知识都与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角.为了配合物理教学，弗赖登塔尔主张提前两年学三角，开始只学正弦[17,第125-126页].我们在小学数学知识的基础上，用单位菱形的面积定义正弦，实现了他的设想.笔者1974年在新疆教中学，用下面方法引入正弦，学生感到很容易掌握.
在直角三角形情形中用正弦定理，推出锐角正弦等于对边比斜边. 把余角的正弦简称余弦，接着可以研究余弦的性质和应用.正弦定理按课程标准是高中的学习内容，可是高中学了用处不大。初中一年级如果懂了正弦定理，再通过面积计算得到和角公式(图14)，就有很多应用，带来不少乐趣；几何和代数联系起来，对解决几何问题也有帮助。例如，用和角公式轻松得出勾股定理(图15).
早在公元前2世纪，希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，将一个固定的圆内给定度数的圆弧所对的弦的长度，叫做这条弧的正弦．现在初中三年级课本上，把直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，叫做这个锐角的正弦，是16世纪形成的概念。但是，为了几何中的计算就常常用到钝角的正弦了，进一步的学习更需要任意角的正弦。因此到高中阶段，要引进18世纪大数学家欧拉所建立的三角函数的定义，把正弦与坐标系、单位圆以及任意角的终边联系起来。按照两百年来形成的数学教学体系，正弦是一个层次较深的概念。即使仅仅提到锐角的正弦，就要先有相似形的知识。所以要到初中三年级才讲。但是，初中一二年级的学生，从算术进入几何和代数，正是逻辑思维形成的关键时期。这时，向他们展示不同类型知识之间的联系以激发其思考非常重要。三角概念，首先是正弦概念，是形数结合的纽带，是几何与代数之间的桥梁。如果能够不失时机地在初中一年级引入正弦，使学生有机会把几何、代数、三角串通起来，进而体会近现代函数思想的威力，应当有很大好处.由于“有一个角为α的边长为1的菱形的面积”正好等于α的正弦，而且不论锐角直角钝角都是成立的。信手拈来，就用它引进正弦，就无须到初三，初一甚至小学五、六年级都可以讲正弦了。进一步思考，如果引入任意角和带号面积，还可以在引入坐标前就定义任意角的正弦。不过这想法还没有做过教学实践.这样引进的正弦，所联系的几何量不是两千年前引入的弦长，不是四百多年前引入的线段比，也不是两百多年前数学大师欧拉建议的任意角终边与单位圆交点的坐标，而是小学生非常熟悉的面积。这样定义正弦好像是离经叛道。但在客观上，在数学中是成立的。写在科普读物里，不但没错，还能够让读者开眼界，活思考，提兴趣，链知识，学方法。这样的正弦定义，比起目前初中三年级课本上的定义，至少有四个好处：更简单，更直观，更严谨(这里直角的正弦为1，因为它就是单位正方形的面积；课本上要用极限来解释)，更一般(这里的定义覆盖了锐角、直角、钝角和平角的情形；课本上只包括锐角)。 1980年，在[4,第51页]文中，正式提出了用单位菱形面积定义正弦。以后多次在期刊和科普讲座中提起这样引入三角的新方法.1989年，《从数学教育到教育数学》[3]在四川教育出版社出版。这本书杜撰了“教育数学”的概念(15年后，即2004年，中国高等教育学会增设了“教育数学专业委员会”。)，从单位菱形面积定义正弦出发，展开了设想中的几何推理体系方案之一。为了促进这个新方法进入课堂，2006-2007年，在[4,第76页和88页]两文中提出能不能用单位菱形面积引入正弦的办法让初中一年级学习三角。我国数学教育领域的著名学者张奠宙先生当即发文回应，热情支持，对“用单位菱形面积引入正弦”给以高度评价，还提出了有关教学实验策略的宝贵建议。张奠宙先生看得很远。他在《我亲历的数学教育》一书中回顾此事时写道：“如果三角学真的有一天会下放到小学的话，这大约是一个历史起点”[2,第130-131页]。真地要改革数学课程的结构，只有顶层设计远远不够。老师需要可以操作的方案。为此2009出版了《一线串通的初等数学》[18]，书中提供了两个具体教学设计，一个是直接用单位菱形面积引入正弦；另一个是用半个单位菱形(也就是腰长为1的等腰三角形)的面积。两者本质相通，风格不同，前者更直观，后者较严谨。2012年，王鹏远老师和我合写的《少年数学实验》[19]在中国少年儿童出版社出版，其中把单位菱形面积引入正弦的过程用动态几何图像来表现，设计成一次数学实验活动。王老师还亲自为初中生做了有关的科普讲座。经过三十年的发酵，用单位菱形面积定义正弦的想法，终于从科普开始渐渐渗入课堂。华东师大2008年的一篇教育硕士论文“高中阶段'用面积定义正弦’教学初探”。作者王文俊是在高中教师岗位上进修攻读硕士学位的。他利用假期补课中的三节课(每节35分钟)，为无锡市辅仁高中高一、高二的4个班198名学生讲了用单位菱形面积定义正弦的有关内容，在研究结论中认为：“总的看来，学生、教师均对用面积定义正弦持欢迎态度。与以往比较呆板枯燥的定义相比，新定义出发点别具一格，体系的走向简洁易懂，学生易于接受也就在情理之中这篇论文里还提到，台湾省台北县江翠国中陈彩凤老师曾经给资优班学生讲过用单位菱形面积定义正弦的三角体系，获得学生热烈回响。在高中做过教学实验的，还有青海民族学院数学系的王雅琼老师[20]。宁波教育学院的崔雪芳教授，她与一位有经验的数学教师合作，于2007年底在宁波一所普通初级中学初一的普通班上了一堂“角的正弦”的实验课[21]。结论认为，“初步结果显示，学生可以懂。三角和面积相联系，比起直角三角形的'对边比斜边’定义更直观，更容易把握。”最后在“教学反思”中说，用菱形面积定义正弦能够“降低教学台阶，学生掌握新概念比较顺利”；“克服了以往正弦概念教学中从抽象到抽象的弊端”；“教学引申比较顺利，变式训练的难度大大降低，学生在学习过程中始终保持浓厚的兴趣，对后续学习产生了强烈的期待，学习的动力被进一步激发”；“这种全新的课程逻辑体系将有利于学生'数、形’融合，使后续学习的思维空间得到整体的拓展”；“在三角、几何、代数间搭建了一个互相联系的思维通道”。崔教授接着又组织了宁波市4所初中的7个班进行实验。这4所学校分别代表了宁波城区生源较好学校、生源一般学校、城乡结合部学校和城区重点学校4种类型。经过两年对不同生源结构班级的实验以及教师、专家访谈，得到的结论是：在初一“以'单位菱形面积’定义正弦引进三角函数是可行的；用面积方法建立三角学有利于初中学生构建三角函数直观的数学模型，形成多方面的数学学习方法，多角度把握'数学本质’”；“'重建三角’的学科逻辑十分有利于中学生的数学学习”[22]。后来，崔教授就此主题继续实验研究，完成了浙江省教科规划课题《基于初中数学“用菱形面积定义正弦”教学实验“重建三角”教学逻辑的策略研究》的研究，该课题于2012年3月结题，获宁波市教科规划研究优秀成果二等奖。期间她编写了实验教材，在宁波市几所中学进行了不同程度的六节课教学实验，组织了多次针对性的教学分析和研讨，获得了一批第一手的研究资料。 在我国做教学改革实验，统考成绩如何这个坎是绕不过去的。2012年，在广州市科协千师万苗工程项目支持下，广州市海珠实验中学大胆尝试，进行了贯穿初中全程的“重建三角”教学实验。两个实验班共105名学生，其中实验一班还有4名阿斯伯格综合症的学生和10名小学鉴定为较差的学生，由青年教师张东方任教．她将[18]的主要内容与人教版数学教材进行整合，其中有90节课是根据[18]设计的。从面积出发引进正弦的效果，在这更多课时更为正式的教学试验中，效果就更明显。七年级下学期引入菱形面积定义正弦后，代数、几何知识密切联系起来，学生的思维能力提升，分析和解决问题的能力增强了。从测试成绩上也有了明显的表现。2015年中考，两个班的数学成绩平均分别为131.47分和131.11分，单科优秀率达到100%(对比班优秀率66.91%)。数学素质的提高对其他各科成绩有了正面影响，这两个班中考总成绩平均分别为733.96和730.25，显著超过4个对比班总平均664分。据实验班的数学老师张东方介绍，使用了调整后的教材结构方案，学生探索和解题的能力明显提升，尤其是解决综合题的能力大大增强了。有一次测试，全区有15名同学成功解答压轴题，其中有12名来自这两个实验班。海珠实验中学的教学实验，引起了关注。广州教育研究院朱华伟教授主持进一步扩大实验并总结经验，获2017年广东省教育教学成果一等奖和2018年国家级教学成果奖二等奖.在2015年之后，四川省在李兴贵、赖虎强等老师推动下开展了有关实验，并编写了师范学院教材[23]，贵州省在左羽、张传军等老师推动下开展了有关实验，都取得好的效果. 2018年1月，教育数学与中小学课程专题研讨会在广州举行，听取了有关重建三角的教学实验汇报，肯定了这个努力方向，提出要编写教材，扩大实验[24].经过41年的思考讨论和教学实践，到2021年，用菱形面积定义正弦被写入李尚志教授主编的实验教材[25,第46页]. 莱布尼兹认为，坐标法处理几何直观性差.于是提出[26],能否直接对几何对象作计算？向量几何可以看做是对莱布尼兹问题的一种回答.这方面更多的研究可参看[27].为了克服向量几何的某些缺点并保持其优势，著名数理逻辑学家莫绍揆提出了更具物理意义的质点几何的理论和方法[28]，类似的研究还有杨学枝提出的点量[29].最近提出的“点几何”[30]，力图用更简明更平常的概念和符号、借助代数运算的形式来描述几何对象之间的关系.下面仅考虑平面几何的情形，容易推广到高维. 学过坐标的孩子，几分钟就能掌握这两个定义. 其实，让他们自己来定义点的加法和数乘点，他们很可能也会这样定义吧. 这里没有新概念，不过是给点的坐标之间的计算约定了简单的表示方法.用表示，其好处不仅在于点的书写工作量仅仅是坐标书写工作量的七分之一，而且视觉方面的简化更有利于几何直观和逻辑思考.图16显示出，几个简单的等式分别描述了几个点的几何关系.
既然等式描述了几何关系，等式的变形就相当于几何推理.例如，B-A=C-D表示ABCD是平行四边形，移项得A+C=B+D,这表示AC和BD这两条线段的中点重合，这就证明了“平行四边形对角线相互平分”.图17、18显示出，几个简单的等式变形分别给出了几个几何定理的简单的证明.
如果只引入点的加法和数乘，可以表示平行了，但无法表示垂直.为此还要引入数量积，也叫内积.
1. 化几何证明为代数计算，操作更简便。在代数恒等式和几何命题之间架构了一座桥梁,将几何性质的成立等价于代数式的成立,数形结合更加紧密；2. 表示简洁,一个等式就完成了证明, 表达甚至比原题更简短，所给出的恒等式证明只需简单计算即可验证,而且几何意义鲜明,读者一看就懂，无需层层递进演绎推理；3.进行几何充要条件的等价推理,能加深理解条件之间的关系,并产生新的命题,为一题多变研究提供了丰富的素材。彭翕成在他的博士论文[27]中提出并对点几何恒等式做了很有趣的探索.他尝试用机器推理来求取几何命题的点几何恒等式明证，获得了上千的成功案例，其中多数情形证明比命题的表述要短.在[28]中有300多个题目的点几何恒等式解答.
因此，点几何帮我们发现了一条立体几何的定理，如图22.
初步教学实验显示，学生对点如何相加的问题有浓厚的兴趣.如果在高中串通坐标、向量和复数来讲讲点几何，相信能够把这些内容变得更有趣，学起来更容易.微积分曾经使很多杰出的数学家感到困惑，它能不能变得让中学里和刚入大学的孩子们容易理解呢？笔者1979-1985年在中国科大为少年班和数学系讲过微积分,为此做过把极限概念和实数理论变容易的努力.提出了不用“ε-语言”而严谨定义极限的方法[3,第7章],发现了与戴德金公理等价的连续归纳法[3,第8章],但没有来得及进入教学.对于中学生，无穷数列不难理解，递增而无界的数列也不难理解，自然数列就是熟悉的例子.为了简便，把递增而无界的数列叫做D数列. 容易想到D数列应当算是无穷大数列；那么，比D数列大而不一定递增的数列也应当算是无穷大数列吧？由此自然地给出下面无穷大列的定义：设{an}是无穷数列.如果有一个递增无界的数列{Dn},使得对一切n有 |an|≥Dn，则称{an}是无穷大列，记作
类似的办法，可以定义函数的极限.容易证明这样的定义逻辑上等价于柯西的“ε-语言”的定义，但比较容易理解，用于解题和推理更容易掌握且较为简便.
后来有几种教材[29]、[30]、[31]采用了这样定义极限的方法，其中[31]的编者刘宗贵教授还做了成功的教学实验[32].由于感到要进一步把微积分变容易实在太难于下手，在1985年之后十年间就停止了这方面的努力. 后来受到林群工作[33]的带动激励，又恢复了这个方向的思考,并获得新进展[4,第217-242页]，不但发现了可以严谨地先讲微积分再讲极限[34，35,36]，而且可以在微积分之前系统而简捷地解决通常认为用微积分才能解决的许多问题[37].下面简单地说明，为什么不用极限也能建立微积分.导数是微积分中重要的基本概念，其经典物理模型是运动物体的瞬时速度.什么是瞬时速度？这是建立微积分时面对的第一个难题.牛顿设想，当时间区间长度趋于0时，平均速度的极限叫做瞬时速度.但什么是极限？数学家用了一百多年才做出严谨的答案.牛顿和其后的数学家都没有注意到，有一个很平易的办法来理解瞬时速度与平均速度的关系：瞬时速度有时不大于平均速度，有时不小于平均速度.笔者1954年开始学微积分，1979-1985年教微积分，但直到2004年才想到这个不等式.有了这个想法立刻想到尝试计算一下，几个例题下来，发现了不用极限求导数的新方法(图23，图24)！
但是，这些例子还不能证明这样求出来的一定是导数.为了方便讨论，先起个名字叫差商控制函数吧.这正相当于用导数研究函数的性质.但是，导数正则函数增，这个高中生都要学习并有很多应用的定理，在一般理工科的微积分课程中都不要求证明;因为它的证明用到拉格朗日中值定理，而中值定理的证明则用到罗尔定理，罗尔定理的证明则用到实数理论和连续函数在闭区间上取到最值的性质，绕的弯子太多了.
而从控制函数的角度看，严谨而简单的推理就解决了.而且不依赖实数理论，对一般有序数域也成立.微积分的最基本的重要应用，一个是用导数研究原函数的增减凸凹，已经变容易了.另一个是求曲边梯形的面积,能不能变容易呢？在[4,第242页]中，给出定积分的不用极限的定义，如下图所示.
这样就把定积分和控制函数也联系起来了.容易证明，当控制函数单调或差商有界时，被控制函数差商唯一，这就避开极限而轻松求出许多曲线下的面积.图26是一个古老例子的最简单的解答.
那么，控制函数是不是一定是被控制函数的导数呢？容易证明，差商有界的控制函数一定是被控制函数的导数，引入连续性概念后可以证明，连续的控制函数一定是被控制函数的导数.在此基础上可以建立微积分基本定理等等.详见林群等合作的文章[35,36,37]和即将出版的书[38].教育数学，如果从《几何原本》开始，2300多年了。教育数学有虚有实。思考交流是务虚，教学实践是务实.务虚是为了务实。教育数学，想的是教育，做的是数学；为了教育，改良数学。改良也要创新。这包括提出新定义新概念，建立新方法新体系，这些新的东西，对教学实践有影响吗？这应当特别关心。重建三角和改良微积分的想法，对一线教师确有影响。有新的教材，有教学实践。试过的老师说，新思路可行，有优越性。做教学实验课题，一般要挑好学生。但教育数学的教学实践，特别是三角、微积分的教学改革，却常常拿数学基础较差的学生来实验。这是被逼出来的。这些学生，原来的一套学得艰难，老师责任心又强，很希望学生学得明白一些，穷者思变，就用新东西来实验了。有位数学家对我说，你这一套培养不出数学家。我体会他的意思是，培养数学家要用难度大的东西来训练，你把数学变容易了，还能培养出数学家吗？我想不要紧，多数学生不是要当数学家。要培养数学家安排些上下求索的难题不是做不到.教育数学还要帮助多数不要当数学家但要学懂数学的人。这意义不算小。微积分课程没有统一标准，写了教材容易出版，所以含有教育数学新想法的教材出了好几种。可能以后还有。但实验效果不好评价，传统力量特大，改革起来任重道远。张奠宙先生设想，在高中可以先学不用极限的微积分。我想这可以作为下一步的努力方向。关于向量，我们仅仅是发展了解题方法。由于切合需要，老师们很欢迎。向量、坐标、复数这些知识是有密切联系的。能不能进一步用点几何整合？我给初中生讲过几次“两个点如何相加”，他们很感兴趣。如果从这里切入，看来有希望突破。看来最重要的是初中三年。这三年是数学学习的分化转折的阶段。教育数学在初中的实验，现在有了关键的突破。从海珠实验中学的实验，成都的实验，贵州的实验继续发展，现在有了李尚志教授主编的《新思路数学》实验教材，十几个省立项上百学校参与，由点到面，教育数学不再是纸上谈兵了。减轻负担是教育的一个重要议题。对数学课来说，减轻负担最有效、最根本的一个方法，就是把数学本身变的更有效、更容易学。本来要花很多时间才能学会的内容，现在花很少时间就能学会。这就真正减轻学习负担了。长期以来，在“减负”方面都存在一个误区，认为“减负”就是删繁就简，这不是真正的减负。繁难的知识可能也非常重要，不能简单删掉或者死记硬背下来。最好能改造数学知识体系，研究更优的解决方法，让学生能轻松且高效的学习。数学最初的研究并不是为了孩子，为了教育，而是为了解决工程、技术、科学等方面的问题。所以，要让数学更适合孩子学习，就必须对数学本身进行加工、改造和研究，让它变得更容易学，学了就能够更有效地解题，而且懂得道理。一个是改变定义，另一个是改进方法。回顾四十多年教育数学走过的路，也是致力于从数学里寻求更有效的减负增效的途径. 【参考文献】[1] William P. Thurston（午饭译），数学教育，数学通报，2009年第9期，P.30-36. [2] 张奠宙，我亲历的数学教育(1938-2008)[M]，南京：江苏教育出版社，2009年11月. [3] 张景中、曹培生，从数学教育到教育数学，成都：四川教育出版社，1989年7月；(台湾，九章出版社，1996年9月.) [4] 张景中,张景中教育数学文选[M]，上海：华东师范大学出版社，2021年10月. [5] 李晟、李长明，初等几何研究(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2015年1月. [6] 全国数学竞赛委员会编，1978全国中学数学竞赛题解[M]，北京：科学普及出版社，1978年12月. [7] R.柯朗、H.罗宾(I.斯图尔特修订，左平、张饴慈译)，什么是数学[M]，上海：复旦大学出版社，2005年5月第2版. [8] 张景中，几何的新方法和新体系[M]，北京：科学出版社，2009年8月第一版. [9] S.波萨门蒂(涂泓译，冯承天译校），数学奇观[M]，上海：上海科技教育出版社，2016年1月第一版. [10]赖虎强,妙用面积学数学[M]，成都：四川科学技术出版社，2012年3月. [11] 张景中，面积关系帮您解题[M]，上海：上海教育出版社，1982年12月. [12]张景中、高小山、周咸青，几何定理机器证明的不变量方法[M]，北京：科学出版社，2015年4月第一版. [13]张景中，计算机怎样解几何题[M],广州：暨南大学出版社；北京：清华大学出版社，2000年5月(院士科普书系/路甬祥主编). [14] 张景中、杨路、高小山、周咸青，几何定理可读证明的自动生成，计算机学报，第18卷第5期，1995年. [15] 张奠宙、沈文选（主编），中学几何研究[M]，北京：高等教育出版社，2006年1月第1版.(普通高等教育“十五”国家级规划教材：数学教育系列教材；总主编：张奠宙、宋乃庆) [16] Jack Heimrath: The Area Method inthe Wolfram Language，ADG 2021,13th InternationalConference on Automated Deduction in Geometry,Online,September 15-17,2021. （https://www3.risc./conferences/adg2021/?content=programme） [17](荷)弗赖登塔尔(陈昌平、唐瑞芬译)，作为教育任务的数学[M]，上海:上海教育出版社 ，1995年3月第一版. [18]张景中，一线串通的初等数学[M]，北京：科学出版社，2009年8月第一版. [19]王鹏远、张景中，少年数学实验[M],北京：中国少年儿童出版社，2012年10月. [20]王雅琼，利用菱形的面积公式学习三角函数，数学教学，2008年11期。 [21]崔雪芳，用菱形面积定义正弦的一次教学探究,数学教学,2008年11期。 [22]崔雪芳，数学中用'菱形面积’定义正弦的教学实验”，宁波大学学报(理工版),24卷2期,2011年4月。 [23]李兴贵、赖虎强，教育数学概论[M],北京:科学出版社，2018年11月第一版(普通高等教育“十三五”规划教材)。 [24]张传军、饶永生，教育数学与中小学课程专题研讨会——初中阶段三角数学课程建设的可行性研究会议纪要，数学教育学报，2018年2期.[25]李尚志(主编)，新思路数学（七年级，下）[M] 长沙：湖南科学技术出版社，2021年3月第一版. [26]I·M·Yaglom. Felix Klein and Sophus Lie, The evolution of theidea of symmetry in the 19th century, [M].c Birkhäuser, 1990, ISBN: 9780817633165. [27]彭翕成，基于点几何的几何定理机器证明与自动发现[D].武汉：华中师范大学.2020. [28]张景中、彭翕成，点几何解题[M],上海：华东师范大学出版社，2020年4月第一版. [29]萧治经.D语言数学分析(上下册)[M].广州：广东高等教育出版社，1993. [30]陈文立.新微积分学(上下册)[M].广州：广东高等教育出版，2005. [31]刘宗贵.非ε语言一元微积分学[M].贵阳:贵州教育出版社，1993. [32]刘宗贵.试用非ε语言讲解微积分[J].高等数学研究，2002(3):22-24. [33]林群.数学也能看图识字.光明日报，1997年6月27日；人民日报，1997年8月26日. [34]张景中、冯勇.微积分基础的新视角.中国科学A辑:数学，39(2):247-256,2009年2月. [35]林群、张景中.先于极限的微积分[J].高等数学研究，第23卷第1期，2020年1月(1):1-16. [36]林群、童增祥、张景中.先于极限的微积分中引入连续性[J].高等数学研究，第23卷第4期，2020年7月(4):1-9. [37]林群、张景中.微积分之前可以做些什么[J].高等数学研究，第22卷第1期，2019年1月(1):1-15. [38]林群、张景中.减肥微积分[M].长沙：湖南教育出版社，2021年12月第一版.
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