一线串通的初等数学 (2010-03-09 13:16:27) 一线串通的初等数学 张景中，彭翕成 华中师范大学教育信息技术工程研究中心，武汉430079 今年8月，笔者主编的《走进教育数学》丛书由科学出版社出版，这算是“教育数学”所取得的一个阶段性成果。教育数学用一句话来概括，就是：改造数学使之更适合于教学和学习。这一提法最早出现在笔者1989年所写的《从数学教育到教育数学》中。其实，教育数学的活动早已有之，如欧几里得著《几何原本》，柯西写《分析教程》，都是教育数学的经典之作。 提出教育数学，并不是一时之兴。早在上个世纪70年代，笔者辅导中学生做题时发现面积法对解几何题非常有效，但教科书对面积法却很不重视，介绍很少。当时，笔者就想：有些题目的难度是由题目本身决定的，倘若不从数学本身入功夫，想出一个解决此类问题的根本办法，而总是从教学法的角度出发，学生学习起来很辛苦。就好比一些绝顶聪明的人，譬如阿基米德，能用很巧的方法计算出一些不规则的曲多边形面积。如果不继续在数学上努力下功夫，而将这些聪明人天才般的想法直接教给学生，不管教课的老师采用何种教学法，学生都是难以接受的。 那究竟应该如何改造数学呢？这可不是一件容易的事情。在《从数学教育到教育数学》中，笔者已经做了较详细的阐述。由于此前不少中学老师表示“下放三角”[1,2]这个想法很新颖、独特，想了解其来龙去脉。下面笔者就简要谈一下，这得从两个小题目（射影几何基本定理和蝴蝶定理）说起。 著名数学大师华罗庚先生在《1978年全国中学生数学竞赛题解》前言中，谈到了这样一个有趣的几何题。 例1：如图1，凸四边形ABCD的两边AD、BC延长后交于K，两边AB、CD延长后交于L．对角线BD、AC延长后分别与直线KL交于F、G．求证： 只看图，不看文字，题目也是一目了然的。几条直线那么一交，不附加任何别的条件，凭空就要你证明一个等式，似乎不容易下手。华先生在指出这个题目包含了射影几何的基本原理之后，给出了用中学生所掌握的知识解决它的方法。下述证明引自华先生所写的前言原文。
在利用共边定理、共角定理解出一些难题之后，笔者得到鼓舞，对面积法更充满信心；同时也受到很大的启发。 启发1：共边定理比正弦定理更基础、更简单，为什么用一个更原始的工具反而比新式武器更有用？这其中必然有其道理。进一步研究发现：没有特别条件，仅仅是几条直线交来交去，这类题目似难实易。战略上应当有这么一个总的认识：凡是只涉及直线的相交、平行，同一直线上的线段比，以及面积比的题目，都属于“仿射几何”的范围，而且是仿射几何中“线性”问题的范围。这类问题，归根结底，用共边定理就足以解决了。这就确定了战略方向。用共边定理，把线段比化为面积比，把面积比化为线段比，在两种几何量的反复转化中解决问题。共边定理这一强有力的新工具的出现使得一大批几何题目变得更容易了，这为后来做几何定理机器证明打下了基础。 启发2：正弦定理很有用，由于中学现有数学体系所限，我们只能将其部分下放，将其以共边定理、共角定理的面貌出现。能不能将正弦定理彻底下放呢？为什么正弦定理要到高三才学习？教育教学讲求循序渐进，人所共知，问题是这个“序”怎么排才是最优的？这个排序让笔者一直思考到现在。譬如是用菱形面积定义正弦，还是用等腰三角形面积定义正弦，笔者都反复比较。 对于现有中学教材中三角学的弊病，已经有不少老师指出了。笔者认为：最根本的原因就是现有的三角学体系不是专门为教育教学设计的，而是为了天文、航海的需要发展起来的。我们在继承前辈成果的同时，必须将其从学术形态转化到教育形态。 在与一些中学老师和中学生交流后，笔者发现，如果没学过三角形相似和正弦定理，譬如初一学生，他们很容易接受这共边定理、共角定理及其证明。而学过三角形相似之后，他们总喜欢作高构造相似三角形来证明共边定理，学过正弦定理之后则把共角定理看作是正弦定理的推论，甚至有人还认为，在初中和小学介绍共角定理是把正弦定理“提前学”，好像非得先有正弦定理才能有共角定理一样。 确实，有了正弦定理之后，不但共角定理一目了然，共边定理也有了更直接的证法。 共边定理证明3： 经过10多年的研究，笔者反复权衡之后，觉得小修小补解决不了根本性的问题，下放三角必须彻底！我们要求新求变，变则通，通则久。“把数学变得更容易”大有可为。我们并不需要引进什么新内容，加重学生的学习负担；只是将现有中学数学的知识点重新进行排序，使得教学效果最优化。面积法不单可以作为解题的利器，更应该将之作为迅速展开初等数学体系的一个制高点，而这个制高点的核心就是正弦定理。正弦定理涉及几何中的三大基本元素：角度、线段、面积，又与三角和代数有着紧密的联系。 几何、代数和三角的知识，是在不同的历史时期，在不同的地域分别形成的。它们各有自己的体系、术语和记号。自然地，这些知识构成了中学里的三门数学课程。 正弦出场就和面积结下不解之缘，使得正弦定理的推导，和角公式的推导，以及正弦增减性的探究都成为直观简易的计算型推理。传统的教学难点无形中消失了，几何知识宝库门户打开。不论是用几何引出三角，还是用三角推导几何，都要用到字母运算，用到代数。三角、几何和代数，紧密联系，彼此渗透，交互影响，共同向前。 以上就是笔者撰写《一线串通的初等数学》[5]的初衷。《一线串通的初等数学》一书共30节，去掉一些难度较大的内容后，估计要20-30周的时间(80-120学时)才能讲完。再加上有理数和代数式, 基本上是两个学期的课程。如果在初中一年级能够学完该书的基本内容，学生的运算能力、推理能力和分析解决问题的能力都会有较大的发展，继续学下去就会感到比较轻松，会有更多的时间思考和进行实践活动。初中毕业生的数学素质有望大面积地显著提高。在目前，该书可以作为数学教师的参考书，从书中选取若干材料作为学生课外活动的内容，用来启发他们在学习数学时要注意温故知新，惯于举一反三，敢于推陈出新，善于从平凡中发现值得思考的问题，提高分析解决问题的能力。 随着数学的进步和社会的发展，初等数学的内容比过去更加丰富庞杂了。除了该书涉及的几何、代数和三角，中学数学的内容还有解析几何、统计概率、微积分初步等等更多的内容。这些内容如何合理安排，能否统一和简化，有待进一步的探究。在这条艰难的路上，我们仅仅迈开了第一步。 这样的设计能够进入中学教材吗？从哪一个年级开始学这些内容？学习这些内容，有小学数学的基础就够了。但是，在初中一年级的年龄段，学生能够理解正弦的概念吗？这需要进行教学实践。在我国著名数学教育家张奠宙先生推动下，宁波教育学院的崔雪芳老师在初一学生中做实验，结论是肯定的[6]。随后，华东师范大学李俊副教授指导的教育硕士王文俊老师对高中学生和老师做了更详细的实验与调查，结果表明“大部分学生和老师是比较欣赏和认可三角函数新定义体系的”[7]。不单大陆这边有老师做实验探究，台湾的江翠国中的陈彩凤老师在看了笔者的《从数学教育到教育数学》，也将三角函数新定义在资优班实施，获得学生热烈回响。 当然，还需要更多的教学实践来检验我们的设想。而在实践中发现的问题，我们会及时调整、反思；某些老师对三角函数新定义有疑惑、误解，我们也将撰文解释。欢迎大家探讨（zjz101@yahoo.com.cn，pxc417@126.com）。 参考文献 [1]张景中.三角下放 全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个方案[J].数学通报. 2007（1）：1-5. [2]张景中.三角下放 全局皆活(续)——初中数学课程结构性改革的一个方案[J].数学通报.2007（2）：1-5. [3]张景中.面积关系帮你解题[M].上海：上海教育出版社.1982 [4]张景中.几何新方法和新体系[M].北京：科学出版社.2009 [5]张景中.一线串通的初等数学[M].北京：科学出版社.2009 [6]崔雪芳.用“菱形面积”定义正弦的一次教学探究[J].数学教学.2008（11）：40-43. [7]王文俊.高中阶段“用面积定义正弦”教学初探[D].上海：华东师范大学.2008 (张景中，彭翕成. 一线串通的初等数学[J].数学通报，2010（2）：1-5.) 全文下载（word版本） http://www./bbs/viewthread.php?tid=2016&pid=11526&page=1&extra=page=1#pid11526
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