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在日常生活中，不同的交通工具，带来的路径与方法是不同的。在欧氏几何中，三角形全等与三角形相似的判定定理，是推理的最基本工具。离开它们，寸步难行。其实，这是一种误区。张景中教育数学，其核心是变更几何的推理工具。有了新工具，三角形全等与三角形相似的判定定理，就不是初中数学最核心的知识。全等与相似不是不重要，而是稍后出现。我们选择从三角正弦入门，首先想到等腰三角形的基本判定定理：在同一三角形中，等角对等边。继续利用活动三角形架观察。变换三角形两角∠A、∠B的度数，它们的对边也随之而变。变中有不变的关系吗？我们能否用三角形的面积公式，提示它们的类在联系？没有三角形全等相关知识，我们仍然可以得到这些定理。
在张景中教育数学中，正弦定理的作用远不止这些。它更主要的作用，是证明三角形全等判定定理——AAS（角角边），ASA（角边角），以及三角形相似的基本定理。
对于任意三角形，正弦定理揭示了三边与三角的内在关系。自然地，正弦定理也适用于直角三角形直斜定理脱胎于正弦定理，可以视为正弦定理的化简形式与特殊情形。它也有自身的特点：将比例形式化简为乘积形式，简明揭示了直角三角形一直角边及其对角、斜边三个量之间的关系。
因此，我们熟悉了直斜定理之后，就没有必要再绕圈子,退回到正弦定理去解题。
由这一特殊角的正弦值与直斜定理，我们可以证明以下重要定理：
1、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。2、在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
将直斜定理由乘积式变为比例式，这就是初中三角中最核心的概念英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”。“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解”。多年来，张景中先生致力于把数学学习变得简单一点，倡导教育数学。教育数学为自己提出三个目标：
逻辑结构尽可能简单；概念的引入要平易直观；要建立有力而通用的解题工具。
初中代数的核心符号是√S，几何的核心符号是∽，三角的核心符号是Sin。中国古代数学家，是从√S进入数学的城市中心。古希腊数学家，是从∽进入数学的城市中心。受此影响，初中数学教材的顶层设计是三角形相似。
在中学数学课程中，三角的内容至关重要。三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学和高等数学的一条通道。函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关，大量的实际问题的解决要用到三角知识。所以，尽管三角学起来并不比几何容易，尽管几何学起来比三角有趣得多，国外国内的许多数学教育专家在考虑数学课程的改革方案时，总是想删去更多的几何内容，而对三角却谨慎从事，不肯轻举妄动。
看来，再过若干年，三角在初等数学中的地位仍然难以动摇。著名以色列科普作家Eli Maor所著《三角之美》一书前言部分，即引用赫伯特一段论述：“在数学领域中，可能没有其他分支学科能像三角学一样始终占据着中心位置”古希腊《几何原本》与中国《九章算术》，影响数学两千年。《几何原本》重“推”，《九章算术》重“算”。初中代数、三角侧重于算，初中几何侧重于推。数学的发展，建立在算的基础之上。古希腊人花了约三百年的时间（从公元前600～300年），才将经验式的几何精炼成演绎式的几何。古希腊推理几何，建立在古埃及测量几何之上。中国古代数学家侧重计算几何的研究，即面积计算、开平方、勾股定理（已知两边求第三边）等。几何起源于测量，基于计算的需要，推理是其发展的高级阶段。
其实，计算和推理是相通的。对于两者关系，张景中精辟论述到：“数学活动中的画图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。”
从算入手，寓理于算，在计算的基础上重视学生的推理能力的培养，符合学生的认知规律。
几何还应重视数学实验。画一画、量一量、算一算、做一做、摆一摆，我们将抽象建立在直观的基础上，可以增强几何学习的兴趣。
随着时代的变迁，几何实验已从粗糙走向精致。张景中研发的超级画板，功能强大。超级画板可以实现角度、长度与面积的测量，可以实验图形的拖动、平移与旋转等，是我们几何教学的好帮手。
在传统数学教学中，小学、初中与高中数学知识，缺少整体的内在联系与统一。
张景中特别指出：“要讲一个新东西，先要仔细分析一下学生在学习新知识之前，他掌握了哪些东西，一定要从他掌握的东西出发，加进最少的新东西让他进入一个新的领域。”
在传统数学中，对于任意角的三角函数的定义，要依赖平面直角坐标系。初中只讲锐角的正弦，直角与钝角的正弦，要等到高中学习。对于锐角的三角函数，初中课程是作为直角三角形的两边的比值而引进的。这样的定义，依赖于有关相似三角形的指示。
其实，所谓定义三角函数，无非是给三角函数提供一个几何模型。这个几何模型可以有多种选择。几何模型的选择不影响三角函数的数值，但会影响对三角函数的性质和几何中的应用的推理和论证。如果能够选择一个更简单的更便于推理论证的几何模型，就有可能带来化繁为简、化难为易的好处。
对于这个问题，张景中是在1974年于新疆巴州21团子女学校教初中数学时开始探索的。经过30多年的思索和实践，为三角函数的定义找到了一种更简单更便于推理论证的几何模型，并发展出相应的一套适用于初中数学教学的逻辑体系。正弦的几何意义，就是：
张景中对于几何教改的整体思路，是将高中的三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、正弦和角公式“空降”到初中，并作为推理的主要依据。
在这里，充分体现了小学、初中与高中数学知识的整体串通。从直观几何出发，形象思维、抽象思维、灵感思维一线串通张景中认为：“在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概论，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。”
传统几何教学，局限于演绎推理与抽象思维的训练。几何教学，“既要教证明，又要教猜想”；既要重视公理化思想，也要重视函数思想、数形结合的思想、寓理于算的思想。
人的思维发展，是整体的。郭思乐教授曾有一段精彩的论述：“数学学习中掌握某些知识的过程有点象胚胎生长。知识是从一个胚胎同时长起来的。数学是一个整体，但教材只能一个字一个字地线性地排列起来。”
著名科学家钱学森主张从形象思维入手，指出：“人的思维可分成抽象(逻辑)思维、形象(直感)思维和灵感(顿悟)思维三个部分。人认识客观世界首先是用形象思维，而不是用抽象思维。形象思维应该是我们当前研究思维科学的一项最重要的任务。”物理学家李政道也主张：科学与艺术是一个整体，需要相互融合。
张景中先生“单位菱形面积定义正弦”，创设了融形象思维、抽象思维、灵感思维于一体的典范。除了从三角的视角进行几何教改设计，张景中先生也从小学三角形面积公式出发，推出两个重要定理——共边定理、共角定理，进而展开平面几何。
本文作者：赖虎强老师（成都市特级校长，成都市学科带头人，中国高等教育学会教育数学专业委员会副秘书长）左边一位：）
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