张景中院士初数结构改革方案(重建三角)：张角定理与两线段的倒数和(差)问题(下)

        新童鞋如果想阅读前面发的文章，请查看“历史消息”。

       如有任何疑问可在本文底部留言，也可在本公众号首页的底部留言（点击首页左下角，使之切换成留言模式才能留言）

以下是河南许昌丁位卿老师和四川邛崃市赖虎强老师合作的word文章《张角定理与两线段的倒数和（差）问题》：
张角定理与两线段的倒数和（差）问题

        丁位卿   赖虎强

 

     曾在重庆一中听张院士点评数学展示课，他对一道“两线段的倒数和的最大值”问题，提出用张角定理会让思考更简捷，解答更简明．受此启发，再次思考张角定理的地位与价值．张角定理，由正弦面积公式推导而来，与面积法与三角函数紧密相连，它是处理部分平面几何难题的解题利器．

著名的美籍匈牙利数学家波利亚曾经说过“当你找到第一个蘑菇后要环顾四周因为它们总是成堆生长的．”我们进一步发现，张角定理对部分“两线段的倒数和（差）”的问题，常常带来思考与解法的便捷．

此题解法见《张院士高屋建瓴点评数学展示课，附：两线段倒数和最值问题的三种解法》一文．

 

小编注：当OB=OD时，求证：OI=OJ，即是1990年冬令营选拔赛第3题(筝形蝴蝶定理)：

在“筝形”四边形ABCD 中，AB=AD，BC=CD，过AC,BD 的交点O 任作两条直线，分别交AD 于E，交BC 于F，交AB 于G，交CD 于H，GF、EH 分别交BD 于I、J，求证：IO=OJ.

    解答见上期《再谈1990年冬令营选拔赛第3题(筝形蝴蝶定理)---两线段的倒数和(差)问题(中)》，在文末附有该文链接.

    以下是《张院士高屋建瓴点评数学展示课（附：两线段倒数和最值问题的三种解法）》，作者：赖虎强（四川邛崃市）

    为了结合实践研讨张景中院士教育数学思想，重庆师范大学、重庆市第一中学于2017 年6 月23 日在重庆举办“张景中院士教育数学思想研究暨实践研讨会”。张景中院士、重庆师大数学科学学院领导、数学教育方向教师及研究生；重庆市教育科学研究院研究员；重庆一中、重庆八中、重庆三中、重庆巴蜀中学、西南大学附中、重庆育才中学、重庆外国语学校、重庆市大学城一中等学校领导及教师代表。本次活动，尧刚先生做了大量策划、协调工作。教育数学实践与推动专家李兴贵院长、赖虎强、陆兴华，也参与了本次活动，并作专题讲座交流。张景中院士作了《教育数学思想及实践简介》专题讲座。笔者的发言题目是《教育数学“重建三角”课改方案及实施策略——以重庆中考题三角法解题为例》。
     会议分为两部分：上午在重庆师范大学进行了教育数学讲座与交流活动；下午在重庆一中进行教育数学课例展示与点评活动，展示课由重庆一中、重庆八中两位数学老师担任。会后，数学教育专家，重庆南开中学杨飞老师作了《参加张景中院士教育数学思想研讨会有感》，对本次活动及时进行了记载。文稿精彩生动，已上传于“张景中教育数学实践”QQ 群共享文件中。
    这里，侧重以重庆八中S 老师的展示课——《向量在求解代数与几何问题中的应用》中的习题点评与分析为侧重点，再作回顾与探讨。

三、三角法视野求解再探索
    张景中先生重视三角法，提出初等数学结构改革方案——“重建三角，全
局皆活”，主张一线串通：小学、初中、高中数学一线串通；计算、推理、画图一线串通；代数、三角、几何一线串通。张院士倡导一线串通，与华罗庚“一条龙”教学法有相近之处。华罗庚将数学视为一个内在紧密联系的整体，他认为将数学分为微积分、高等代数、复变函数等分别进行教学，是人为地将数学割裂开来，不利于学生的学习和全面发展。根据这一思想，华罗庚在中国科大首创“一条龙”教学法，把所有数学基础课放在一起，作为相互关联的课程统一安排教学，使各们学科相互渗透。这就有了后来著名的“华龙”、“关龙”、“吴龙”，由华罗庚、关肇直、吴文俊分别主持。在《高等数学引论》一书中，可以发现多处华罗庚先生精心设置的重要概念、重要方法的“伏笔”。华罗庚先生认为：“我讲书喜欢埋些伏笔，把有些重要概念、重要方法尽可能早地在具体问题中提出，并且不止一次地提出，目的在于将来进一步学习的时候会较易接受高深的方法，很可能高深方法就是早已有之的的朴素简单的方法的抽象加工而已。”
    具体来说，“重建三角”实验方案，主张用单位菱形面积定义正弦，并将高中的正弦三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、正弦和角公式适度、适时下移到初中。其中，正弦三角形面积公式是新方案的顶层设计与逻辑中心、解题利器。若学生从初一开始就接触任意三角形的通性通法——正弦三角形面积公式、正弦定理、余弦定理。经过四至五年的反复应用，自然熟能生巧！
   利用三角法，对例2还有哪些解法呢？能不能“无辅”求解呢？