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一、 直积运算 集合在我们一进高中就已学过，其中我们掌握了集合的定义、集合间的关系，集合间的运算（交集，并集，补集，差集）。这里，我们学习一种新的运算，直积运算（笛卡尔乘积）。 首先，我们引入有序偶的概念。有序偶，是有先后次序的一对元素，常用(a,b)来表示元素a, b组成的有序偶。其中a，b分布叫作(a,b)的第一和第二坐标。 那么，直积运算可由有序偶定义。 定义 设A和B均为集合。A和B的直积集合A×B是指有序偶的集合 C=A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}. 直积运算在量子力学中的经常遇到，我们经常将宇宙拆分成我们所关心的系统和环境的直积。 二、 映射 映射的概念我们在高中也是熟悉的，下面来介绍一些新的概念。 定义 设A1⊂A，且有两个映射f:A→B和g:A1→B，此时如果对所有的a1∈A1，有f(a1)=g(a1)，那么称f为g到A的扩大，而g则为f到A1的缩小，记为 g=f|A1 .
定义 设f:A→B，且g:B→C，此时由h(a)=g(f(a))与a∈A来定义映射h:A→C，那么称h为f和g的结合，记作 h=g∘f .
定理1.1 映射的结合运算满足结合律，即对ff→Bg→Ch→D,有 h∘(g∘f)=(h∘g)∘f .
对于两个抽象的集合，我们要建立它们之间的联系，唯一手段就是映射。如果在在两集合间有一个完全的一一映射，那么我们说它们有相等的浓度。 与自然数或其真子集浓度相等的集合，被称为可数集，否则是不可数集。 定理1.2 如果集合A和B均为可数集，那么A∪B, A×B也均为可数集。 三、 关系 数学中的关系只有“有关系”和“没有关系”两种情况，并不存在中间的灰色地带。集合A上的一个关系∼，是一种法则，利用它可判定任意a,b∈A组成的有序偶(a,b)是满足某种条件，此时称a,b有关系，记作a∼b；若不满足这一条件，则称a,b没有关系，记作a≁b. 定义 一个以有序偶为元素的集合R被称为一个关系。当且仅当 ∀x∈R⇒∃a,b,(x=(a,b)) .
即a和b有关系时，记作(a,b)∈R或aRb;而当a和b没有关系时，记作(a,b)∉R. 定义 集合X上的关系∼，若满足 (i) ∀a∈X，有a∼a (自反性) (ii) a∼b & b∼a ⇒a=b (iii) a∼b & b∼c ⇒a∼c 则称∼是一个次序关系，可以用≤表示。 如果集合X有次序关系，则称它是一个有序集合，记作(X,≤). 注意我们熟知的数域N,Z,Q,R均为有序集合，复数域C除外。 下面我们介绍一种最为重要的一种关系，等价关系。 定义 集合A上定义的关系∼，若满足 (i) 自反： ∀a∈A，有a∼a. (ii)对称： a∼b⇒b∼a. (iii)传递： a∼b,b∼c⇒a∼c. 则称∼是一个等价关系。 等价关系的重要性在于它与集合的分类有密切联系。 定义 X的一个分类或分割是指满足下列条件的一个集合族u⊂P(X): (i) A,B∈u⇒A=B或A∩B=∅. (ii) ∪A∈uA=X. 可以明显看出，“属于同一类”这一关系是个等价关系，因此由一个集合的分类可以确定它的一个等价关系。同理，我们把彼此等价的元素放在一起，也构成一个集合的分类。 定理1.3 集合X的一个分类可以确定它的一个等价关系。反之，每一个等价关系可以确定它的一个分类。因此，也把类成为等价类。 把Aa称为由a确定的等价类，称a是Aa的一个代表。若a∼b，则有Aa=Ab，即等价类可以由其中的任一元素做代表。 定义 设∼是集合X上的 一个等价关系，而{Aa}是由它确定的一个分类，我们称把由各等价类Aa作为元素而构成的集合称为由X按照∼而得到的商集合，记为 u=X/∼={Aa|a∈X} .
如果定义f(a)=Aa，则映射f被称为X到它的商集合u上的自然映射。 |
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