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王一茗 四川省成都市锦西外国语实验小学校教师，2021年6月西南大学数学教育专业硕士毕业。 一、双减背景下作业设计原则 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》提出深化教育改革全面提高义务教育质量的意见，明确要求“减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担”。在这样的双减背景下,一线学科教师应践行科学规划、创新增效,提升数学作业质量才得以切实让作业减负。在中小学数学作业设计原则的已有研究中，虽然不同研究者的研究结论具有差异性与多元性，但都认为作业设计应包含以下几个原则：(一)、目的性原则：基于课标、教材的教学目标以及学生的学习现状与学习需要，同时考虑学段、年级、学期、单元和课时教学目的。在设计数学作业时应体现学生的主体性并有针对性地设计数学题目突出重点、突破难点。(二)、科学性原则：作业内容要符合学生的身心发展规律、认知规律，符合学生掌握学科知识、发展学科能力的规律，题目的编制符合学生的认知特点，题目的内涵及表述要做到科学、准确。具体体现在内容科学、题目设计合理、难度适中，既与学生的数学学习水平相符合，又能在一定程度上激发学生的数学学习兴趣。(三)、层次性原则：指数学作业应分层设计，不能简单地采取“一刀切”的形式，应该适应学生在数学学习过程中的差异性需求，将作业的要求分成不同层次，学生根据自己数学学习情况选择相对于的数学作业。(四)、探究性原则：数学作业不应该是机械化的反复练习，而是学生在完成作业的过程中同化、建构新知并进行主动学习，更重要的是进行学习知识的创新、方法创新。使学生在数学学习过程中真正成为一名探索者、发现者与问题解决者。(五)、联系性原则：数学来源于生活，生活中处处都有数学。数学作业不仅与数学学科本身有关，也与其他学科知识紧密相连，在进行数学作业设计时实现课内外联系，体现数学与社会生活的紧密联系。乘法分配律是小学数学十分重要的知识，同时也是学生较难以理解的内容。在运算律这一章中学生已经先后学习了乘法交换律、乘法结合律，这两个运算律直观形象，学生通过公式就能准确描述定律。而乘法分配律中涉及了两种运算方式(既包含加法运算，又包含乘法运算)加上语言描述的抽象复杂性，导致学生在学习的时候对于其运算特征与运算规律很难把握。在学习该知识时，是从解决问题的角度引入，再从乘法意义的角度对等式两边进行解读，再从点子图、数形结合、乘法竖式计算多角度验证乘法分配律，最后运用所学知识解决实际问题，并对乘法分配律进行拓展。在双减背景下，基于以上作业设计原则及乘法分配律的基础性知识与拓展内容开展作业设计。 二、双减背景下作业设计展示 在课堂中，学生已经学习了乘法分配律((a+b)×c=a×c+b×c)并对减法进行分配((a-b)×c=a×c-b×c)。在此基础上，引导学生提出猜想，难道只限于两个数的和吗？作业要求学生对乘法分配律进行拓展，并运用喜欢的方法进行证明：（二）你还能想到乘法分配律有哪些拓展吗？并对你列举的等式进行证明。预估学生完成情况分为以下三个层次：第一层次的学生只掌握了乘法分配律的简单公式与文字表述。第二层次的学生不仅掌握了乘法分配律的常规理论知识，还能以举例子、点子图的形式来证明乘法分配律并灵活运用该知识。第三层次的学生具有独立思考与独立探索的能力。不仅能灵活运用乘法分配律，并对乘法分配律进行多位数相加、多位数相减的拓展及证明( (a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d、(a+b+c+d)×e=a×e+b×e+c×e+d×e、(a-b-c)×d=a×d-b×d-c×d)......组织全班同学一起分享、交流探索知识内容，然后完成以下练习：
三、学生完成情况与教师批改情况 通过学生的作业作品反映出他们对乘法分配律的掌握情况，同学们运用了各种方法对其证明。比如钟同学(图3-1)、吴同学(图3-2)都运用长方形的面积证明乘法分配律：
图3-1 
图3-2 陈同学(图3-3)想到运用一个实际例子来验证；徐同学(图3-4)利用点子图与图形旋转来证明：
图3-3 图3-4 在乘法分配律对减法进行分配的证明方法中，很多学生也采用了上述方法。除此之外，吴同学(图3-5)还通过分一分的方法来证明；陈同学(图3-6)通过乘法的意义来验证乘法分配律不仅可以用于加法，也可以对减法进行分配。
图3-5
图3-6 对乘法分配律进行拓展的作业设计中，大部分学生都拓展到了多个数相加。例如贺同学(图3-7)指出(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d，并分别通过举例法与数形结合的方法进行验证。
图3-7 有同学受乘法分配律对减法进行分配的启发，将其拓展到了3个数。例如李同学(图3-8)想到(a-b-c)×d=a×d-b×d-c×d，并运用不同方法对其证明。
图3-8 钟同学(图3-9)总共写了4个拓展，她通过乘法分配律联想到有除法分配律吗？给出了两个等式(a+b)÷c=a÷c+b÷c与(a-b)÷c=a÷c-b÷c，在全班一起分享交流中，教师也提出了“有除法分配律吗”这个问题促进学生思考c÷(a+b)与c÷a+c÷b是否相等，通过举例的方法来验证除法分配律不成立。
图3-9 总体来看，大部分同学都至少能联想到一个拓展并进行证明，极个别同学迁移能力较弱，无法进行拓展。教师进行批改之后进行总结，验证了作业练习与拓展作业完成度成正相关，也就是那些能对乘法分配律进行拓展的同学作业完成度高，完成时间短，质量也更高。相反，无法对乘法分配律进行拓展的同学在计算时常常混淆分配律、结合律导致错误。将学生的作业完成情况总体分成三类：
第三类，能运用乘法分配律进行简单的应用，在需要变形的式子中就会错误使用运算律。
四、作业设计反思 作业的根本目的不是评判优良，而在于检测教学目标的达成情况，以此改进教师的教和学生的学。因此，作业设计要从结果的整体性分析和主体性反思两个方面进行全面反馈，及时发现问题，反思完善，改进设计。通过教师的批改情况进行反思，从而促进作业的完善与改进。本次作业设计整体完成度较高，通过学生自主探索乘法分配律的拓展及证明方式，再进行习题练习。作业时间控制在1小时以内、在延时服务中完成。学生的主要错误原因也在预料范围之内，缘由没有真正明白乘法分配律的内涵，如果只是记形式化的公式，往往就会混淆。不足之处在于对“除法分配律”这个问题的讨论不够深入，只是举例验证其不成立，没有深入探讨其不合理的原因。
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