【原】凭什么同一张纸揉成团就比纸片下落得快？

凭什么同一张纸揉成团就比纸片下落得快？

在讲自由落体运动的时候，我们往往会使用一个自然而然、司空见惯的实验：

取同样的两张纸，一张揉成团，一张平整着，同时松手令其下落，结果纸团比纸片运动得快，迅速落到地面上。

元旦的晚上，一小伙伴忽然在微信里抛过来一个问题：凭什么啊？并传过来她的推导过程。

于是看一下小伙伴的推导，发现确实啊，空气阻力如果取经验的的话，人家纸片速度小，阻力也小啊，虽然截面积大，可是一大乘一小，还真不能一句话说明白谁阻力大、谁阻力小啊。

所以这应该是个好问题。

于是推导了一通，做了一个粗略的计算，回复。但总觉得仍然不够通透，隔靴搔痒，差着点儿意思。今天重新细致做了一些测量和计算，应该比昨晚的推导更好一些。记录于此。

纸团下落加速度的推导

空气阻力里面的参数中，空气密度，迎风面截面积，经验常数，一般用风洞实验室测量得出，根据实际情况，经验上可取、之间。

不妨设纸团为正球体，半径，密度，则

得

得

纸片下落加速度的推导

假设纸片下落时，纸张只做平动，空气是平稳的，纸张也只是沿直线下落下去。

这里把纸张做一下折合。把一张A4纸折合成圆平面，假设折合后的圆半径为。A4纸面积约为，估算出。

这个时候，我们找一本书籍来测量一下厚度，彼得·德鲁克的经典《管理的实践》，大约页，厚度，则得一张纸的厚度，即。

假设纸团捏得足够紧实，使纸团的体积与圆纸片的体积是相等的，这样就得到

估算出大约。也就是，如果把纸团转换成同体积圆柱体，迎风面的圆半径增大了12倍，这与实际生活经验相比，似乎要大一些。但应该不会太过于影响我们的估算。

这样只需把前面式中的替换成，其它不动即可用来求纸片加速度，即

求解微分方程

列一下两个微分方程的样子。

纸团：

纸片：

对式子，写成

两边积分(折腾了好久，功力已渐散啊好痛苦最后不得不去查积分表)得到

纸团下落

观察式和中前的系数，令，不妨取，则，分别代入式，则可估算出

纸团下落

纸片下落纸团下落

最终解释

现在用几何画板画出来前面解出的式和式函数图像，可见在相等时间里，图线与坐标轴包围的面积实在是相差的太多了，纸片刚一起动下落，就达到了最大速度，再也追不上纸团了。

实际这种仿佛毫无疑义的问题被突然作为问题提出来，确实是很有价值的事情。牛顿之前应该有很多人不只被苹果砸过脑袋，爱因斯坦之前洛仑兹变换公式都被拎出来了，但就是没往同时的相对性那边想，所以不是问题的问题肯定是好问题。

小伙伴前面几天也问过一个小问题，是不知道牛顿-莱布尼兹公式之前，怎样累加干掉xdx的。实际到了学习等差数列求和公式后，可以用两个二次函数差构造一个新函数，然后错位相减消灭之。高一阶段，数学积累太少，所以就有它的价值。