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最近非常想写个关于“四点共圆”的推文。 原因嘛，当然是因为近期一直在复习圆锥曲线，觉得手熟了。 不过最主要的，还是因为最近已有多位同学询问了四点共圆的证明。 好像最近的好几张卷里，也都有四点共圆吧。 翻了翻高考卷，不论是以前的全国卷，还是地方卷，确实出现过多次关于“四点共圆”的证明了。 当然，文科都是压轴的。 于是，我极认真的准备了一点素材，写就此文。 仅希望能给高分段的孩子们，更多一点解析几何题型上的储备吧。 为表示严肃性，还是直接上高考真题吧。 这题的第一问，是极其简单的。 因为根据条件，利用向量加法结合韦达定理，就可以直接求出点P的坐标了。 代入就行了呗。  我就不再代入了，直接进行“四点共圆”的证明。 其实，说到四点共圆的证明，记得初中的主要方法，应当是“对角互补的四边形有外接圆”这一结论了。 所以，首当其冲的，要考虑“对角互补”。 只是如何求角呢？ 在平面几何里，我们可以用解三角形的办法。 那么，在解析几何里呢？ 想了想，也只有“到角公式”和“向量夹角”稍微的靠谱点。 这里，我用了“到角公式”。 只是，要问我什么叫“到角公式”？ 我就不再答复你了。 因为画个图仔细想想，很容易就能弄明白的。 当然，有同学说，都把四点坐标求出来了，用向量不也是挺好的嘛。 毕竟，向量求角，我们可能更熟悉点。 但因为要计算模长，可能计算量就稍微显得大了点了。 而且，如果是真的要计算模长的话，我想就无需求角了。 因为圆当中，还有一个非常重要的结论，叫“相交弦定理”！ 我们可以用这个定理，成功过渡到“四点共圆”的验证。 计算量确实是大了点的。 但幸好，因为只是计算两点间的距离，于我们来说，一定是比较熟悉的，只要耐心观察式子特点，注意优化计算过程就好。 计算的过程中，我想了想“三点可以惟一确定一个圆”这个结论。 因为有点圆和两点圆的方程，这里突然想到三点圆，应该也是无可厚非的。 当然，主要还是因为前两种思路的计算量，确实是我所不喜的，所以就想再做点思考。 如果可以很方便地表达出三个点确定的圆，再验证第四个点是否在圆上，我想也是很直接的。 只是，又怎样能很方便地表示一个三点圆呢？ 我想到了课堂上讲到的“过直线与圆交点的圆系方程”。 于是，方法上做了这样的调整。 是不是也很简单的。 利用一个两点圆的直径式，再加上圆系就OK了。 虽然写起来挺麻烦，但真的没有太多的计算量。 当然，有同学说，按照尺规作图的思路，三点圆的处理，我也可以分别求出某两边的中垂线，再求得交点行不行？ 当然，你可以试一下的，也一定是可以。 只是受前面计算量的影响，我实在不想再求中垂线了。  其实，受“过直线与圆交点圆系方程”启发，是可以很容易想到经过四点的曲线系方程的。
那么，这个东西与四点共圆又有什么关系么？ 仔细想想圆的方程的特征，不难得出下面这个结论：
其实也就是说，只要上面圆系方程中没有x与y的交叉项，就一定是表示经过两直线与曲线四个交点的圆的方程了。 相信，在对圆系的方程的写法有了一定的感觉后，应该是能够理解上面的结论的。 于是，便有了下面这个极简洁的证法。
不能说这种解法是多么的神奇。 只能说，在学习过程中，对于某些相近的问题，如果有时间和精力的话，还是应该要做深度的思考的分析。 因为，勤于思考，才是数学人最好最重要的品质。 在这里，从应考的角度来说，我只想提醒大家，如果遇到四点共圆，就多想想那个“斜率之和等于0”的充分条件吧。  比较下几种思路，你认为哪一种更适合你呢？ 当然，这个考题还是很特殊的，毕竟四个点的坐标都可求。 但在很多的考题中，坐标可求的情况应该是极少的吧。 所以，具体问题中，还是要根据条件的特征，做个最好的选择。 不信，你也可以试着处理下面的考题：
是不是有特别想妙解了它的冲动呢！ 还有近期某卷的考题，虽很容易，也不压轴，但听说也还是难倒了不少的娃的。
非常简单的一个题了，有时间，下期再给个解答吧。 不过碰巧刷到这篇推送的同学，真的可以好好试下前面提到的方法。 多试几种吧，练习一下小技能。 |
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