研题 | 强化七种意识，引领向量解题（名师）

作者简介：王勇，湖北省正高级教师，湖北省特级教师，湖北省优秀教师，湖北省教科研学术带头人。

平面向量是高中数学的重要内容，也是高考的热点之一． 平面向量具有代数和几何形式的“双重身份”，既是数形结合的典范，又是中学数学知识的一个重要交汇点． 近年高考试题和各地模拟试题中频频出现以平面向量为载体的选择题、填空题，这类问题小巧玲珑、韵味十足、内涵丰富、方法灵活，极具思考性和挑战性，学生求解起来颇感棘手． 本文介绍求解平面向量问题的七种意识，旨在引领学生形成“向量思想”、优化向量解题．

01

“基底”意识

所谓“基底”意识，是指有预见性地选择适当的“基底”，并用“基底”来表示有关向量，以实现化归的一种思维方式．“基底”意识的本质是平面向量基本定理的灵活应用，选择“基底”应有利于化未知为已知、化零乱为有序，从而达到简化问题的目的．

2015天津卷

点评：本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，考查考生的转化与化归思想及运算求解能力．

02

“坐标”意识

所谓“坐标”意识，是指通过建立平面直角坐标系，将向量改用坐标来表示，使向量问题转化为代数问题来处理的一种思维方式． 其优点是具体操作近乎“程序化”，学生容易掌握，关键是建立适当的平面直角坐标系，准确算出有关点的坐标．

2015福建卷

点评：本题考查平面向量的数量积、平面向量的模、基本不等式等基础知识，意在考查考生的转化与化归思想、数形结合思想和运算求解能力．

03

投影”意识

所谓“投影”意识，就是能自觉运用向量的“投影”来解决具体问题的一种思维方式． 要想让学生深刻地理解和把握平面向量数量积的概念，必须强化对“投影”概念的理解与应用．

2015昆明市质检题

点评：注意到BP与BC共起点且BC的值一定，所以要使BP·BC最大，只要BP在BC方向上的投影最大即可，结合图形分析并利用余弦定理、正弦定理不难得出结果．

2015 年武汉市调考题

点评：以上解法通过“投影”思想，把求AB·AQ的最大值问题转化为求“投影”的最大值问题，然后利用数形结合思想，使解题过程简洁明了．

04

“构图”意识

所谓“构图”意识，是指能主动挖掘平面向量问题的几何背景并用于解题的一种思维方式．“构图”意识的实质就是将“数”向“形”转化，然后运用图形的几何性质解题．

2015 年襄阳市调考题

2011 年大纲全国卷

点评：利用题设条件构造相关图形，然后运用图形的几何性质求解，显得直观清晰、运转高效．

05

“点积”意识

所谓“点积”意识，就是在一个含向量等式的两边同时“点积”一个适当的非零向量，把向量关系的等式转化为代数方程，实现向量问题实数化的一种思维方式．

2015 年长沙市模拟题

点评：本题综合考查平面几何知识、平面向量的数量积运算、余弦定理及“点积”意识等，体现了“小、巧、精、活”的命题特色．

06

“平方”意识

所谓“平方”意识，就是在一个含向量的等式或不等式的两边同时平方( 注意等价性，有时先变形再平方) ，借以实现向量问题实数化的一种思维方式．其依据就是a² = |a|²，在向量的解题中有一个常用手段就是平方．

2015 年湖南十三校第二次联考题

2015 年济南市模拟题

点评:将所给的向量等式先移项，再两边平方，分别求出OA·OC及OB·OC的值，进而求出OC·AB的值，给人水到渠成之感．

07

“结论”意识

所谓“结论”意识，就是直接引用平面向量中的重要结论，借以快速破解有关向量问题的一种思维方式． 下面给出的两个重要结论非常实用，敬请熟练掌握．

结论1

2015年太原市模拟题

点评：本题是选择题，所以可以直接利用三点共线的充要条件，设AM=xAE+(1－x)AC，AM=yAF+(1－y)AD，大大简化了解题过程． 因此在解决选择题或填空题时，合理应用一些结论，能起到事半功倍的效果．

结论2

2014年湖北省八校联考卷

作者简介：王勇，湖北省正高级教师，湖北省特级教师，湖北省优秀教师，湖北省教科研学术带头人；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等