【方法技巧】平方差公式在因式分解中的五种表现

应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法.

公式表述为：a²- b²=（a+b）（a-b）.

应用平方差公式满足的条件：

等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算；

等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差.

01

直接应用

例1：分解因式：        ．

分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成2²，这样，左边就变形为x²- 2²，这样，就和公式一致了.

解:x²-4=x²- 2²=（x+2）（x-2）.

02

提后用公式

例2：分解因式：3x²-27=                  ．

分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法.

解：3x²-27

=3（x²-9）

=3（x²- 3²）

=3（x+3）（x-3）.

03

变化指数后用公式

例3：2⁴⁸-1能被60和70之间的两个数整除.这两个数各是多少？

分析:因为48=2×24，所以2⁴⁸=（2²）²⁴=（2²⁴）²，这样就满足了平方差公式的要求了.

解：因为48=2×24，所以2⁴⁸=（2²）²⁴=（2²⁴）²，

所以2⁴⁸-1=（2²⁴）²-（1）²=（2²⁴+1）（2²⁴-1）

=（2²⁴+1）（2²⁴-1）

=（2²⁴+1）[（2¹²）²-（1）²]

=（2²⁴+1）[（2¹²+1）（2¹²-1）]

=（2²⁴+1）（2¹²+1）[（2⁶）²-（1）²]

=（2²⁴+1）（2¹²+1）[（2⁶+1）（2⁶-1）]

=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）[（2³）²-（1）²]

=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）[（2³+1）（2³-1）]

=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）×9×7

=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）×65×63.

因为整除的两个数在60和70之间，且60＜63＜70，60＜65＜70，

所以这两个数分别是63、65.

04

先局部用完全平方，再整体用平方差

例4：若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a²-2ab- c²+b²的值（   ）

A、 大于零     B、小于零     C、等于零         D、与零的大小无关

解：由a²-2ab- c²+ b²= （a-b）²- c²=（a-b+c）（a-b-c），因为a、b、c是三角形的三条边长，所以两边之和一定是大于第三边的，因此，a+c＞b，b+c＞a，所以a-b+c＞0，a-b-c＜0，所以（a-b+c）（a-b-c）＜0，因此正确的答案是B.

05

比赛中的应用

例5：有10位乒乓球选手进行乒乓球单循环比赛（每两人之间均要赛一场）如果用x₁，y₁顺次表示第一号选手胜与负的场数，用x₂，y₂顺次表示第二号选手胜与负的场数，用x₁₀，y₁₀顺次表示第十号选手胜与负的场数，则这10位选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和是相等的.

即

你能用所学的知识解释里面的道理吗？

分析：因为是进行的单循环比赛，所以每一位选手的胜的场数与负的场数是相同的，都是9场，从比赛的整体来看，所有队员胜的场数与负的场数也一定是相等的，这两个隐含的条件是问题解决的关键所在.

解：因为是进行的单循环比赛，