从轴心时代到地理大发现

许多读者向我表示，《文明、资本与投资》的结尾有点太突然了。确实，本来后面还有2章，分别是关于古代语言和数学的。出版社觉得跟主题关联不大就建议删除了。倒不是什么敏感问题。当初的稿子已经找不到了。但是公众号上曾经发过类似内容。现转一篇旧文给大家看看。其实旧文里还有不少好东西，大家可以在公众号的对话框里回复关键字查找。

一、何谓轴心时代

所谓轴心时代，是二战之后才出现的一个历史概念。它的生产，来源于一个“巧合”。

历史学家们注意到：世界上几大主要文明的奠基思想家，都是在公元前6世纪左右，几乎同时涌现出来的。

这里面包括中国的老子、孔子，印度的释迦牟尼，古希腊的苏格拉底、柏拉图和亚里士多德，等等。

当然，我们知道后三者的时间其实要晚一些。所以后来又有人把轴心时代的定义扩大，从公元前800年一直算到公元前200年。

这样一来，轴心时代就包括了中国的诸子百家，波斯的拜火教，以及犹太教和基督教的形成阶段。

而且很自然地，轴心时代又跟政治领域的另一大“巧合”搭上了边。公元前2世纪前后，秦汉帝国和罗马共和国/帝国这两个庞然大物，几乎同时形成于欧亚大陆的东西两端。

在这里，我还准备为轴心时代再添上第3个“巧合”。那就是：东西方数学的两大经典，《九章算术》和《几何原本》，也都是在上述时段的末尾，几乎同时出现的。

二、为什么要关注轴心时代

这么多巧合集中在一起，似乎仅从趣味性来说，我们就应该关注轴心时代。

但是实际上，轴心时代还有一层更加宏大的历史意义。那就是，它能够帮助我们更好地理解地理大发现以来的现代世界。

为什么这样说？

道理就在《几何原本》的第一公设：“两点确定一直线”。只有一个点，我们是无法作图的。因为假如只过一点的话，事实上可以做无数条任意方向的直线。

比如说，近年来非常流行的“科技爆炸”假设。它认为人类科技将沿指数曲线无限发展。过去100年间实现的历史进步，在未来20年之内即可再现。再往后，也许这个过程只要10年，或者5年。反正只要指数增长能够永续，那么1个月，1个星期，甚至1秒钟，都是可能的。

然而仅仅一代人之前，人们对未来科技的看法还是阴云密布。爱因斯坦有一句玩笑话，后来成了冷战文化的经典。他说：“我不知道第三次世界大战会用什么武器，但是第四次世界大战一定会用石头和木棍”。

从极度悲观到极度乐观，短短几十年间，人们的历史观发生了翻天覆地的变化。而且似乎左右两边都可以说得通。

这种现象，说白了就是“只过一点，可以做任意方向的直线”。因为没有一个远方的参照物，所以只能凭当下的信息瞎猜。

人类的思维可以分为感性和理性两种。感性思维总是倾向于高估短期、眼前和亲身经历的重要性。这其实是一种盲目的自大。如果不从历史中寻找依据，我们就不能摆脱这种自大，也就无法达到真正的理性。

而在已知的全部人类历史中，唯一可以与“现代”相比肩，能够作为参照系的，就只有轴心时代了。这就是它的重要性所在。

三、轴心时代的双重意义

我们经常会用“前无古人，后无来者”来形容轴心时代的伟人和名著。从数学上看，这是非常标准的“极大值”的定义。所谓极大值，就是说这个点左右两边的数值都小于它。

所以轴心时代作为一个“极大值”，它至少有两层意义：一是在它之前，人类文明经历了显著的发展。二是在它之后，又出现了长期的减速和停滞。

我们说在轴心时代是一个长期发展的结果。西方学者可能不同意。因为他们不认为苏、柏、亚三人的思想，会是从古埃及或者两河流域，那些“低于”古希腊的地方传承过来的。

但是中国人看得很清楚。孔子在文化上的功绩，主要是整理六经：诗、书、礼、乐、易、春秋。前5本都是上古流传下来的。只有最后一本《春秋》，是孔子根据鲁国国史修订而成。

在印度，释迦牟尼创立佛教的时候，恰逢婆罗门教经典《奥义书》开始传世。这两大宗教在各个方面的师承关系也是非常明确的。

四、让数学告诉我们

轴心时代到底是横空出世，还是水到渠成？

要想回答好这个问题，我们就必须重视数学史的研究。因为在人类文明史的各个部分中，只有数学的脉络特别清晰。在数学史上，极少会有天文学“地心说”，物理学“以太论”，化学“燃素论”那样推倒重来式的发展。

这还是拿数学跟其它自然科学作比较。要是再看看社会和政治领域，充斥其间的各种颠覆和篡改，简直令人寸步难行。

数学知识恰恰相反。它的每一次发展，都使人类的思维水平向纵深拓展。而人们原先的理解，则往往可以作为一种特殊情况保留下来。

所以数学史就像是一块保存得特别完好的沉积地层。陈陈相因，秩序井然。

五、九章算术

我们首先看来《九章算术》。顾名思义，全书共分9章，字里行间充满着朴素的生活气息。

《粟米》讲精粮和粗粮之间的换算，《衰分》讲按数列划分财产的问题，《均输》讲物流成本预算。这3章的数学意义在于给出了完整的分数四则运算规则。

《方田》研究农田的面积，《商功》研究建筑物的土方工程量。这2章的数学意义在于给出了十几种形状的面积和体积公式。

其它4章的数学意味较强。《少广》给出了对任意整数和分数，开平方和开立方的数值方法。《方程》给出了求解多元一次方程组的方法。《盈不足》讲的是线性插值估计，这个我们后面还会详细介绍。《勾股》介绍了相似形和直角三角形三边互求的算法。

《九章算术》没有明确的作者。从内容安排上看，汇编的迹象非常明显。自古以来，它就被很明确地认定是先秦数学知识的总集。其中最古老的部分，可能要追溯到3000多年前的商周交替之际。

总而言之，《九章算术》绝对不属于横空出世。

六、几何原本

西方数学的经典巨著《几何原本》共13卷。其中第1－4卷是我们熟知的，以5大公理和5大公设为基础的平面几何。

第5－10卷是数论。在《数字符号与古代文明》一节中，我们已经介绍过。古希腊人使用的数字符号属于“筒索系统”，难于计算。所以他们使用线段来表示数值，用几何变化来表示加减乘除和平方、开方运算。

比如说，以一条线段的长度为1，那么以它为边做一个正方形，这个正方形的对角线长度就是√2。

第11－13卷主要讲解立体几何，其中的高阶内容，大多是关于正多面体的。

在上述的13卷中，大约有80%的内容是数学结论，另外20%是尺规作图练习。

有些版本的《几何原本》还有第14和15卷。不过现在已经公认，这2卷属后人附会。

《几何原本》相传是欧几里德一人所作。但是书中的绝大部分结论都不是他原创的。所以此书其实也是一部集大成之作。

实际上，《几何原本》更可能是作为一部教材，而非研究成果出现的。这也可以解释，为什么在欧几里德生活的时代，他的知名度远低于毕达哥拉斯和阿基米德。

考古学家指出，《几何原本》中的许多内容，在古埃及和两河流域的古代文献中，早就出现过了。

如果说古希腊哲学是横空出世，那恐怕死无对证。但就《几何原本》来说，无论如何都得算是水到渠成，源远流长。

七、历史的雪崩

考古学家们发现，在轴心时代之前的数百到一千多年前，中国和地中海世界都出现了人口的急剧增长。

人口增长为2件事情提供了可能性。一是城市的兴起，二是大规模的兼并战争。

而这2件事情又导致了4个重要变化：一是语言和文字的发展，二是社会阶级的分化，三是工具的革新，四是智力竞争的加剧。

然后这4个变化又带动了16个甚至更多方面的发展。

这个过程就像一场巨大的，自我循环的雪崩。而这一切的源头，可能只是一件看似微不足道的小事。

比如说，金属农具的出现。它提高了农业生产的效率，从而触发了人口的增长。

事实上，我们现代人也身处一场类似的“雪崩”之中。触发它的，则是500年前哥伦布一次方向错误的远航。

八、最重要的问题

面对以上事实，我们很难相信轴心时代会是一个孤立、偶然的事件。在它出现之前，显然已经存在着一个跨度近千年，呈“雪崩式”高速发展的历史盛世。而轴心时代只是这个“千年盛世”的尾声而已。

那为什么只有轴心时代这么显眼呢？我们或许可以这样解释。

在整个千年盛世的爬坡过程中，伟人与名著的出现是均匀分布的。只不过长江后浪推前浪，新书颠覆旧书，后人超越前人。以至于我们现在回望过去的时候，只能看到出现在山颠上的最后那一批而已。

从轴心时代到地理大发现，中间大概有1500年的时间。在这段时期内，人类社会的发展速度降低了，有些地方甚至陷入停滞和倒退。正是因为“中间低”，所以才凸现出“两头高”。

从这个角度说，轴心时代之所以引人注目，“伟人辈出”只是表面现象。“后无来者”才是根本原因。

“股神”巴菲特说过，如果他可以问上帝一个问题，他最想知道的是自己会死在哪里。然后他就可以永远回避那个地方了。

对于身处现代盛世的我们来说，当然有千千万万个理由，去研究上一场千年盛世。但是假如只能挑一个最重要的问题来研究，那必须是：

它为什么结束？

不过本文没有野心把如此宏大的命题，全部讲解清楚。所以我们还是集中火力，谈一谈数学的发展为什么减速。

九、中国数学的衰退

首当其冲的是精度问题。

在《九章算术》中，对圆周率的取值是3，即所谓“径一周三”。与真实值相比，它的误差在4.7%左右。

到南北朝时，祖冲之发明了“割圆术”。他将圆周率计算到小数点后7位，称为“密率”，也就是将误差控制到万分之0.001。

这是一个相当了不起的成就。但从祖冲之身后直到明清，世间流传的仍然是《九章算术》的“径一周三”，而非他的密率。

老百姓不懂得使用密率，我们可以理解。因为在实践中，绝大多数的工程都可以分为测量、计算、施工和修正这4个环节。这4个环节中，误差最大的那一个环节，决定了最终结果的误差。所以极大地提高计算的精度，并不会对实际结果产生相应的影响。

然而在高精度的计算工程中，密率也没有受到欢迎。比如元代大数学家郭守敬。他编制的《授时历》是古代历法的最高峰。但是他也采用了《九章算术》的“径一周三”。

郭守敬的算法，要是让古希腊的托勒密来看，肯定会嗤之以鼻。因为托勒密坚信，天体必定按照完美的圆周运行，圆周率的精确当然是极其关键的。

然而在郭守敬的脑子里，根本就没有这个前提。他只要用“四海测验”获得的实测数据来修正自己的计算，就可以达到足够的精度。而且从方法论来说，他也更愿意相信实测。至于天体运行的轨迹是不是正圆，那都无所谓。

我们现在已经知道，郭守敬是对的。天体运行的轨度确实不是正圆，而是椭圆。那么密率自然也就没有用武之地了。

与此相似的一个例子，是《九章算术》中给出的“弧田”面积公式。在《方田》章中，“弧田”是被近似成一个梯形来计算的。

自东汉以降，就不断有人指出《九章算术》算错了。因为在他们看来，“弧田”必然是由圆周和弦线围成的，所以应该用圆内接三角形的公式来算。

从几何学上看，这种质疑确实更严谨。但是在实践中，谁能保证“弧田”的曲边一定是圆周呢？

《九章算术》中还有一个更加著名的错误：球体积公式。书中给出的公式，与真实值之间的差异大约是7.4%。这似乎是一个比“径一周三”更大的误差。

但是如果考虑到体积是长度的立方，那么体积上误差7.4%，其实只相当于长度上误差2.4%。换句话说，如果在测量和施工中，长度上的误差远大于2.4%，那么体积公式的这部分误差是可以忽略的。所以实际上，这个公式的误差影响比“径一周三”还要小。

在这里，我们还要再提一下祖冲之。他不仅精于计算圆周率，而且还专门写了一本书，讲解复杂形状的面积和体积，叫作《缀术》。

可惜此书对精度的追求远远超越了实际需要。所以很快就失传了。据《隋书》记载：“学官莫能究其深奥，故废而不理”。

十、平凡的技术

与精度问题相对应的，是估值法的发展。

《九章算术》中专门有一章介绍估值法，叫作“盈不足术”。

盈不足术的思想很简单。假设有一个方程，它很复杂，我们无法直接求解。但是只要这个问题是从生活中来的，那么我们总有一定的经验区域，可以猜。

“盈不足术”就是这样一个“猜”法。我们先猜一个偏大的值，叫作“盈”。再猜一个偏小的值，叫作“不足”。然后我们把这两个猜测值，代入方程看结果。

如果“盈”和“不足”的误差相似，那么就说明真解在这两个猜测值的中间。如果“盈”的误差较大，那么就说明真解在中间偏向“不足”。如果“不足”的误差较大，那么就说明真解在中间偏向“盈”。

运用这样朴素的思想，再通过一个线性插值公式，我们就可以对方程的真解进行估计。如果误差仍然过大，我们还可以迭代运用“盈不足术”，反复缩小间距，直到精度满意为止。

虽然“盈不足术”的数学意义比较平凡，但是实际作用却很大。对于线性方程，它求出的解是完全精确的。更关键的是，只要容忍一定的误差，它还可以求解任何形式的连续函数方程。

这样一来，人们就用不着再去逐个研究什么一元二次，一元三次，指数，对数等各种各样的函数了。

千古之谜，一猜了之。

使用“盈不足术”的唯一代价就是误差。而这在古代社会的实践中，常常是微不足道的。

在《九章算术》问世一千多年后的宋元年间，“盈不足术”才传入欧洲。但是它仍然引起了轰动。

因为当时阿拉伯世界与西辽接壤。而辽朝是契丹王朝。所以“盈不足术”被称为“契丹算法”。另外，因为“盈不足术”需要做一大一小两次假设，所以又称“双设法”。

当时的欧洲文献记载：“双设法很快就统治了数学王国”。

十一、失落的文明

说到这里似乎有些奇怪。在我们看来，《九章算术》和《几何原本》是双峰对峙的关系。怎么到了一千年后，从《九章算术》里抽出来的一章，就可以“统治”欧洲数学？

那是因为《几何原本》早就失传了。

事实上，《几何原本》的命运比《缀术》更加不幸。在它问世之后，不过几代人的时间，即已成为绝学。罗马帝国覆灭之后，更是在欧洲尘封了近千年。

如果说《缀术》失传，是因为它对面积和体积的精度追求过高。那么《几何原本》就更加曲高和寡了。全书洋洋洒洒13章，竟无一处提到最基本的面积、体积公式。

在《几何原本》中，绝大多数的结论都是定性的，只能告诉你“是不是”。它不关注定量研究，所以很少会去回答“有多少”的问题。

当然，《几何原本》中也有一些非常优秀的定量结论。比如说余弦定理，它可以计算三角形任意角的对应边长。锐角、直角、钝角三角形都可以计算。而著名的“勾股定理”只能对直角三角形进行计算。所以“勾股定理”其实是“余弦定理”的一个特殊情况。

“余弦定理”在数学上是一个非常高的成就。但是它在社会上的影响却很小。至少比“勾股定理”差远了。

因为在实践中，测量一条线段的长度是极其容易的。而测量一个角的大小并求其余弦值，反倒是比较困难的。用困难的事情去求解容易的事情，这就与一般的认知规律背道而驰了。

《几何原本》的公理体系非常优美。从极其简洁的几条公理出发，就可以推导出大量并不直观的结论。这个过程很吸引人，充分展现了逻辑的力量。

但是这种证明思路，却是对研究思路的一种扭曲。因为事实上，那些定理并不是真的通过公理演绎得到的。它们是在实践中被发现，回过头来，再补上的证明。这样就把推动学科发展的原始动力：“问题本身”，给掩盖起来了。

公理化的过程，就像是一个控制欲极强的导游带着你游览花园。你或许会倾倒于满园春色，但是却不知道自己为何而来。

《几何原本》的公理体系还有一个问题：它越往后发展，就越显示出“自说自话”的倾向。比如数论中的“可公度性”，“中项性”，立体几何中的“正多面体”，都是高度抽象，远离实际情况的人造概念。投入很大精力去研究这些概念，有点像是自己画靶子自己打。

其实在欧几里德生活的时代，人们就已经对这些问题进行了一定的反思。

比如说，稍晚于他的阿基米德，就很注意“理论联系实际”。他发现了杠杆定律，浮力定律，据说还发明了滑轮和凹面镜，因此被称为数学之神。

但是考虑到当时的工艺水准，阿基米德的许多设想也许从来就没有离开过纸面，就像1800年后的达芬奇一样。

十二、知行合一

古希腊数学最终式微了，这很令人惋惜。但是许多史家把它归咎于古罗马，认为是帝国的暴政压制了科学。这种说法有失公允。

数学是纯粹的人类智慧结晶。在世界文明史上，最容易穿越地域、文化和宗教进行传播的知识，就是数学。

古希腊数学本身就师从古埃及和两河流域，后来又在伊斯兰世界薪火相传，然后再与印度和中国数学融汇，最终回传欧洲。这个过程，本身就说明了数学知识的强大生命力。

事实上，古罗马对古希腊文化的继承和发展极多。为什么偏偏古希腊的数学失传了？

是因为《几何原本》的公理体系已经演绎到尽头了吗？这显然不对。1980年代，我国数学家吴文俊还利用计算机软件，自动发现并证明了好几条新的“欧氏几何”定理。

历史学家指出，罗马帝国时期，地中海世界的经济活动迅速发展。土地买卖、财产分割等事务，都急需大量数学知识的支持。

但是我们知道，《几何原本》对这方面的内容几乎不置一词。而书中那些高深的定理，却又找不到合适的应用场景。

“知”、“行”不能合一，恐怕是古希腊数学凋零的根本原因。

尾议

假如由数学而推及整个科学技术，那么我想在这里总结3条教训：

第一，科技的发展最好能与实践水平保持互动。即使一些理论成果看起来很优秀，比如祖冲之的密率，阿基米德的聚光镜。但是如果它们始终不能落实，那么意义也将非常有限。

第二，“大自然讨厌真空”。当科技与实践之间存在差距时，自然会有别的东西填补进来。像“盈不足术”这样比较“平凡”的技术，其实已经非常优秀了。在更多的情况下，填补进来的是玄学和迷信。

当然，如果一种玄学或者迷信能够流行，那么它往往是包含一定经验成果的。令其作为一种润滑剂而存在，也未尝不可。但是一定要警惕它们反噬主流科技的生存空间，损害科技的持续发展。

第三，如果科技成果不能被社会接受，则学者们可能出现“自我保护”式的应激反应。他们会把自己封闭起来，变本加厉地追求孤芳自赏，就像《几何原本》的后半部分那样。

我希望，学者们不要沉迷于“正多面体”般过于精妙的人造世界，玩弄智力游戏，自我陶醉。

毕竟，发展科技的终极目的，应该是推动社会发展，而不是让一小部分聪明人自娱自乐。