统计力学（119）：26.3 混合性和独立性 26-4 机率和实验

26.3 混合性和独立性

近代研究统计力学根源的学者，多致力于“混合性” 的分析。所谓混合性，即指上节的“面线” 均匀地分布在活动范围中，如果。即

是活动范围的任一子集， 是活动范围的总体积， 是的体积。也就说是说在内的体积， 和的体积成正比。

混合性比起遍历性来，要合理些。它的要求是任一区域都会演化成一团平均分布在整个活动范围里的细丝。这混合性的 分析是一复杂的数学问题，本作者是门外汉。有关这方面的书籍， 最近有一些[参考 Sinai (1977)(Sinai, Ya. G. (1977) Introduction to Ergodic Theory (Princeton University Press, Princeton).) , Krylov (1979)。(Krylov, N. S. (1979) works on the Foundations of Statistical Physics (Princeton University Press, Princeton).)]。

混合性的理论，可以说是现在普通被接受的看法。它比波次 曼、吉布士时的思想进步，但仍可以说是由吉布士理论演化而来。

现在把本书的看法改写成一个和混合性有点相似的式子，再 作总检讨。本书的看法是: 基本假设即是一独立性的假设，也就是相干时间及相干距离的假设。

在第 1节我们指出独立性(2)是基本假设的根本。从上一章轨 迹求熵的讨论可见，活动范围必须由轨迹来定义，来了解，而独 立性是用轨迹定义熵的必要性质。这独立性是长时间外和长距离 外的独立。也就是说:  有相干时间 和相干距离。如果 或 ， 则

平均值是在观测时间 内的时间平均 ，可以有相当伸缩性， 即  的改变不影响平均值。， 是在， 附近的“局部”运动变量。“附近” 是指比 小的距离。“局部” 即是只和少数运动变量有关。

如果能从力学定律推导出 (7)，则活动范围可定， (2)亦成立， 整个基本假设就创建了。以上并没有提供从 (7)得 (2) 的数学步骤。这些步骤，恐怕不是太容易的，或许需要些其他条件。但主要的 一步是要了解 (7) , 即要了解独立性如何从力学产生。

此地所谓的独立性 (7) 和混合性 (6)有何不同? 现在看一个简单的例子。

假想两个一度空间模型: （甲) 粒子被限在硬壁盒子中，位置 是。(乙）粒子被一弹簧紧住，而作简諧运动，令其频率为。现在看看此二模型的“混合性” 如何。图  1

图 1 (a)中的黑饼区域，经过一段长时间后，变成图 1 (b) 中的黑面条形区域。时间越久，这些面条越细越密。黑区的总面 积不变，只是把这黑饼拉成细丝而已。显然这些细丝均匀地分布 在

的区域中 是黑饼的直径。这均匀的分布在 时发生

是粒子的质量。我们可以说这模型是有混合性的。

模型(乙)不大一样。图 1 (c) 中的黑饼会沿着椭圆轨道走， 形状会稍变，但不会被抽成丝。无论时间多长，像图 1 (b)那样 的情形不会发生。(见图 1 (d)) 。因此，这模型没有混合性。

因此，从混合性的分析来看，这两模型完全不同。

但是，从独立性的观点来看，此二模型没有什么不同。即二 者均无独立性。二者都是周期性的运动，都没有纷乱现象发生。

本书的观点不把起始的形象看成一群点集，而只考虑一个起始形象。模型（甲）的运动周期由 决定，是一个常数。

以上的例子自然过份简单。且不论在一般复杂的模型中 (6) 和 (7) 是否大不相同，至少这例子指出基本观点的不同。

26-4 机率和实验

今天的文献中，“机率” 常指和吉布士的“系集” 一样的东 西。讨论平衡，讨论熵的增加，总不免以机率分布的演化为对象， 看看这机率如何从一起始的分布（或 “事前机率”)，  逐渐分散开来，布满整个活动范围。相干时间的观念，是指这机率分散开来所需要的时间。

本作者以为，这“机率” 的意义，非常不清楚。现在我们且不谈量子力学。统计力学的概念应合用于古典力学。如果不先把古典力学的情形弄清楚，量子情形大概也弄不清。

一种说法是: 这机率是代表观测者的知识。他对物体知道得 越多，则机率分布越集中。这种说法显然不合适。物体的运动， 和观测者的心理状态不该有关系。照这说法，不同的人看同样的 物体时，就必须说这些人的知识完全一样。这说法难以接受。

另一说法是:  这机率代表实验的结果，代表实验量出的知识。这表面上看来比上一说法合理，“ 实验” 这名词给人一种客观 的印象。但这说法和上一说法大同小异。问题是: 什么实验?要做多少实验才够? 或曰:  “巨观实验” 、“可能做到的实验”。这答案不对的。从固定杂质的讨论，及二十四章的重聚现象的分 析可见，有时每一杂原子的位置都得算是已知。这是可能做到的 实验吗?

统计力学文献中讨论的“实验”， 往往和真的实验没有什么关系。例如， “正则系集”代表确定的温度，实验者可以确定能量到的精确度。其他大值变量也可测准到精确度。事实上，，故。没有什 么实验可做到如此高的精确度，且不论总能量该如何测定。再者，如果“机率” 趋于零， 则解释成“不会发生” ，或“实验看不到”。这也不合事实。例如，任何暂稳态，其“机率” 都趋近于零，包括钻石。今天的实验室中的物体，大半是在暂稳态中。

文献中的一大弱点，就是把活动范围，或平衡态的机率分布，看作理所当然的为已知。总 能函数一定，平衡机率就很简单地定了，即所有能量为一定值 的形象有相同的机率。这种看法，可以说是研究气体留下来的习惯。（本书已再次说明，活动范围的决定，不是这样简单，而要看真正的轨迹如何分布）。这习惯对分析统计力学的根源，是一大障碍。

本作者认为，吉布士的系集及机率，和力学扯不上关系，对统计力学而言，是不必要且不合事实的观念。这些观念，虽可以 用来帮助我们作抽象的分析，但对探讨统计力学的根源来说，是无关的。如要对这根源有正确的分析，必先摆脱这种系集机率想法的控制。

今天的计算机，已可以算出一些简单模型的轨迹，已可以从轨迹算出各热力性质和一切性质， (见第二十二章，及第二十五 章）。所以“实验” 的问题，暂时不必介入根源的讨论。这些计算机的数据，代表完全客观的性质。当然，了解这些简单模型并不足以奠定统计力学的基础。但如果连这些模型的结果都不能了 解，则真是“前途无亮” 了。数值解只需要牛顿定律，根本不须要系集、机率的观念。

本书对机率的定义大不相同。本书把机率看成一个整理数据的工具，不是一个物理观念，不是一件必须品，纯是为了方便。必先有数据，有数据，才能统计、分类、综合、计算机率，平衡或不平衡，轨迹是所有的数据，一切性质必来自轨迹。

独立性 (7) 是轨迹的性质。活动范围须由轨迹定。平衡是轨迹 的特性，因此不是一瞬时特性。在系集的看法中，平衡是一个瞬时的机率分布。读者到现在，应该对这两种看法的不同，分辨得相当清楚。

以上对系集和文献中的机率观，作了十分严格的批评，是为了澄清最基本的观念。但是，以上的批评，并不是对文献中成果 的价值予以否定。以上提过，我们对空间，对一团云雾的流动、 分散、有十分强的直觉。系集的看法，给我们一个新的抽象工具， 而且颇具一种美感。假想的数学观念自然不该避免，但要认清楚，并作有效的利用。