（修正版）什么？还有三角函数线！三角函数还能看图说话？

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音乐是一个很奇妙的东西，它无体无身，但它总是可以调节人们的情绪！

数涵妙理总堪寻，道通功成浅亦深！大家好，我是麒麟子，我和我的数学故事都还在路上！

勘误说明

之前分享的三角函数线内容中，关于正切线的分析出现失误，错把正弦线的内容放到了正切线的位置，也有很多粉丝私信我这个问题，首先给大家说声抱歉，今天这期是修正之后的版本，希望本期的内容能够帮到大家，感谢大家的支持和关注！

★ 前情回顾

我们已经讨论了任意角和弧度制的知识：

1、任意角将我们以前学的角的概念进行了推广，角的范围不再有限制；

2、角度制到弧度制的转化使得我们可以更简洁，更方便地讨论三角函数的内容，三角函数和其他数学内容实现了统一。

往期分享的内容想进一步回顾的话，点击下方蓝色链接：

1、知识点

▶ 任意角和弧度制——基本知识点总结！

▶ 任意角和弧度制加强巩固——小题狂练！

2、例题

▶ 三角函数1——图像性质！

    视频讲解

▶ 三角函数基本功

▶ 一题足矣，彻底秒杀这类象限角的例题！

▶ 三角函数的诱导公式！

★ 本期数学分享——有趣的三角函数线

任意角和弧度制只是学习“三角函数”的预备知识，这些准备知识为我们后续讨论三角函数做了很好的铺垫。要真正了解三角函数，离不开一个重要的工具——单位圆！

三角函数规范化定义

我们讨论的三角函数主要是正弦函数sin、余弦函数cos、正切函数tan。三角函数最严谨的定义，当然是通过单位圆进行定义：

在平面直角坐标系xoy中设∠θ的始边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠θ的终边与单位圆的交点，则：

三角函数依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义允许三角函数对所有正数和负数角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。这就是单位圆定义相比于三角形定义的优势！

三角函数线

三角函数线（Trigonometric function line）是正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线和余割线的总称，是三角函数的几何表示。而我们主要讨论的就是正弦线、余弦线、正切线三个！

根据上图三角函数定义式可知，上图所示的一些线段的长度等于某些三角函数的绝对值。如果我们去掉绝对值，引入向量的概念。这些向量叫做三角函数线。

预备知识

规定了方向（起点和终点）的线段称为有向线段（与向量有区别），类似地可以把规定了正方向的直线称为有向直线。若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB。 

上图中：有向线段AB和BA的关系为BA=-AB

正弦线

余弦线

正切线

★ 总结

苏轼在《题西林壁》诗中写到：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。同样是观察同一个事物，角度不同，可能会有不一样的结果。

三角函数线是三角函数的图形化表示，体现了数学中的“数形结合”的数学思想方法，同时也给我们提供了一种理解三角函数更为有趣的思路，相当于我们从几何的角度看待三角函数。这也是一种别样的视角，当然也会给我们带来一些处理问题的新思路，三角函数线在以下几个方面都有应用，这就需要大家在之后的学习中主动去体验啦！

• 解三角函数中不等式；

• 三角函数不等式的证明；

• 比较三角函数值的大小；

• 证明三角恒等变换公式。

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 第一篇文章我以金庸武侠为载体给大家讲述了“函数”的本质；

 第二篇文章我给大家讲述了指数函数、对数函数、幂函数三者源于同样一个简洁的表达式，三者本自同根生。

 第三篇文章我给大家详细讲述了一道非常经典的导数题目，用两种思路不同的解法，涉及到导数中许多常用的核心方法，是一篇很好的导数提升文章！

 第四篇文章通过一道新颖题型给大家讲述了立体几何中的多面体欧拉定理，算是对立体几何内容进行一个有趣的拓展。

 第五篇文章给大家讲了指数幂的一点历史，帮助大家好理解指数函数！

数学的探寻之路也许会充满荆棘，但这趟旅途中一定也会有很多意外的惊喜，希望大家保持热情，保持好奇，在数学这趟看不见尽头的旅程中开心的驰骋下去吧！

数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。

——华罗庚 中国数学家