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这是杭州某重点高中的自主招生考试的数学试题，如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E、F为CD的三等分点， 求证：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°  题目图形很优美，题型也很有意思。 分析：因为题目图形的对称性，求证∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°，等价于求证∠ACD+∠AED+∠AFD=90°。 根据题目条件2CD=3AB，E、F又是三等分点， 则FD=AD，所以∠AFD=45°， 而根据三角形外角性质，又有∠AFD=∠AED+∠EAF， 所以问题就变为证明∠ACD=∠EAF， 三角形题目中，要证明两个角相等，最常用的就是找到包含这两个角的三角形相似。 观察图形，显然△AEF有可能和△CAF相似。 这两个三角形有一个共同的角，但另外两个角都和要证的的角相关，就想到用两个三角形三边对应成比例来求证， 即证EF/AF=AF/CF=AE/AC……① 设AD=FD=EF=1，则CF=2，利用勾股定理不难计算AF=√2，AE=√5，AC=√10， 带入①即得证， 所以△AEF∽△CAF，问题得解。 |
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