第1期 相交线的那些知识

知识点1  邻补角与对顶角

1.邻补角

（1）概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角，互为邻补角。如下图，∠2和∠3，∠1和∠4，∠1和∠2，∠3和∠4，均互为邻补角。

（2）性质：邻补角互补。

2.对顶角

（1）概念：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角，互为对顶角。如上图，∠2和∠4，∠1和∠3，均互为对顶角。

（2）性质：对顶角相等。

典型例题

思路点拨

根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，AO不是∠COE的角平分线，因此∠AOC和∠AOE不一定相等，根据∠EOD＝90°，利用平角定义可得∠AOE+∠BOD＝90°，根据邻补角互补可得∠AOD+∠BOD＝180°

解题过程

A、∠AOD＝∠BOC，说法正确；

B、∠AOC＝∠AOE，说法错误；

C、∠AOE+∠BOD＝90°，说法正确；

D、∠AOD+∠BOD＝180°，说法正确；

故选：B．

知识点2  垂线及其性质

1.垂直的定义

两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线互相垂直.

2.垂线的定义

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足. 

3.垂线的性质

性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.

4.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

典型例题1

P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（　）

A．过P可画直线垂直于l

B．过Q可画直线l的垂线

C．连接PQ使PQ⊥l 

D．过Q可画直线与l垂直

思路点拨

直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．

解答过程

A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；

B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；

C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；

D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；

故选：C．

典型例题2

直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（　　）

A．不小于2cm 

B．大于2cm 

C．不大于2cm 

D．小于2cm

思路点拨

由点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，由垂线段最短可知点P到直线l的距离不大于2cm，进而求解．

解答过程

∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，

∴PB最短，

∵直线外一点与直线上点的连线中，垂线段最短，

∴P到直线l的距离不大于2cm，

故选：C．

典型例题3

如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，

正确的有（　　）

①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．

A．2个     B．3个     C．4个     D．5个

思路点拨

根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．

解答过程

∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；

AC与DC相交不垂直，故②错误；

点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；

点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；

线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；

线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．

故选：B．

知识点3  同位角、内错角、同旁内角

1.同位角

两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.如下图中的∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8等等。

2.内错角

两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.

如上图中的∠3和∠5，∠4和∠6。 

3.同旁内角

两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。

如上图中的∠3和∠6，∠4和∠5。

典型例题

复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，

化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．

（1）如图1，直线l₁，l₂被直线l₃所截，在这个基本图形中，形成了　  　对同旁内角．

（2）如图2，平面内三条直线l₁，l₂，l₃两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有　 　对同旁内角．

（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成　 　对同旁内角．

（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成　         　对同旁内角．

思路点拨

根根据同旁内角的定义，结合图形确定同旁内角的对数．

解答过程

解：因为两个交点可以形成2对同旁内角，而三个交点形成的同旁内角的对数为6对，

（1）直线l₁，l₂被直线l₃所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角．

（2）平面内三条直线l₁，l₂，l₃两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有3×2＝6对同旁内角．

（3）平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24对同旁内角．

（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）对同旁内角

故答案为：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）