中考数学压轴题分析：正方形十字模型及拓展

本文内容选自2021年达州中考数学几何压轴题。本题以正方形、矩形为背景，结合垂直考查相似等知识。

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【中考真题】

（2021·达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为　　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB＝CF·AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．

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【分析】

（1）正方形，根据全等得到结论。

（2）矩形，根据相似得到比例关系。

（3）表面上是梯形，延长AD，过C作AD的垂线，补成矩形。

如上图所示，可以得到△ADE∽△HCF，进而得到结论。

（4）①求DE与CF的比值，依然考虑相似。可以考虑延长AB与DC交于一点，过点C作AD的垂线，根据相似得到点C到AD的距离。利用相似即可得到结论。

②在题①的基础上面，求出AF的长，进而利用勾股定理得到BF的长即可。

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【答案】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE·AB＝CF·AD；
（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH，
∴，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵，
∴，
∴a（负值舍去），
∴AH，DH，
∴AC＝2AH，
∵AD·CG，
∴9CG，
∴CG，
∴；
②∵AC，CG，∠AGC＝90°，
∴AG，
由①得△DEA∽△CFE，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG，
∴AF＝AG﹣FG，
∴BF．