北大学子备考锦囊 | 王家民：数学学习之道

人杰地灵h8p9lk 2022-02-05

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关键词：北大学子备考锦囊

编者按

踏着晨光走进教室，翻开书本开始新一天的知识之旅；方寸书桌前静心埋首，写下给未来的一张满分答卷；傍晚在空旷的校园驻足凝神，勇攀高峰时也曾有片刻迷茫与失落……这是你的青春故事，也是无数北大人的难忘记忆。前行路上不妨稍歇片刻，与我们一起聆听学生经验，这里有高效的学习方法，巧妙的解题思路，更有柳暗花明的心路历程与矢志不改的理想追求。十年如一日的追梦路上，一人独行风景虽好，携手共进步履愈坚，你的故事，北大始终不曾缺席。

学生姓名：王家民

毕业中学：华中师范大学第一附属中学

就读院系：北京大学数学科学学院

许多人认为数学象征着枯燥，其实那只是他们“不解风情”。每当你加强一个命题后成功证出，每当你抽象思考后豁然开朗，每当你进行猜想后果真如愿，一种感动总会油然而生，使人沉浸其中，久久不能平息。怀着这份感动，你在纸上写下不能更熟悉的“解”，甚至在解答中加上一个俏皮的“注意到”，最后春风得意地完成收尾，这就是独属于数学的浪漫。

曾经有一位老师告诫我：“无论做什么题目，都请向好的方面想。不是说想这道题像1+1=2那么简单，而是相信事情总在向着对你有利的方向发展。”短短几句做题的指导，其实更像是一种人生的态度。

数学家都是天真的，他们总是希望着好的。或者说，他们总是坚信美好的存在，尽力地尝试着发掘美好。一点小小的巧妙就能让他们得到一天的喜悦，一次成功的证明就能让他们得到一天的幸福。以天真的心态面对数学，同时以天真的心态面向世界。数学似乎成为了一种信仰，净化人的心灵。

对亲爱的学弟学妹们，我有几点拙见。

务必自信

翻开一本超出自己能力的书，书中的奇形怪状的符号、算式，令人望而生畏。但请相信，高楼大厦由一块块砖组成，书中的各种定理也是由“搬砖工们”一点一点完成的。只要自信地走好脚下的路，数学之门总会向你敞开。

平日看书、做题遇到困难时不要急着翻解答，正如我前文提到，一切向好的方向想。想想自己需要什么，想想自己期望什么，也许看似乱七八糟的等式不过是纸老虎，只是一个熟悉的恒等式代入了一些奇怪的值，也许一切都会柳暗花明。

笔者曾有幸参加中国数学奥林匹克竞赛，在第二天的考试开始时不免有些畏惧，早就听闻第二天的难度势必上升，而初看卷上三道题便开始慌乱：第一道几何图形怪异，其中的点的定义都飘飘欲仙；第二道题更甚，在多面体上定义奇怪的函数，还涉及多面体上奇怪的路径，本就难以琢磨、难以具体想象的三维空间更是令人望而却步；最后一题虽题目简洁，但作为全场比赛最后一题它的地位不言自明。

这时，我又回想起赛前教练送给我们的话，顿感畏难情绪大幅消散。在此也不妨把这句话送给大家：“如果你在考前感到紧张，不要担心，尝试着把这份紧张转化成一种兴奋。”我本不是一个“大赛型选手”，但无论是谁，只要兴奋起来，至少不会发挥失常。其实数学竞赛某种程度上说也是竞技体育，在大家水平相差不远的情况下，拼的就是高压环境下的爆发力。务必自信，务必让自己兴奋起来，务必热爱自己身处的这场比赛。

务必深思

在初高中阶段，数学的学习大多是短暂的学习加上大量的重复，但这样的学习方式却不太符合大学或者更高层次学习的逻辑。数学中常用的研究方法正是“抽象”。何谓抽象？我们都知道加法，把两个整数进行一次加法操作后还是会得到一个整数。在这样的过程中，我们想要研究这样的一个代数结构，因此人们定义了群，即一种由一个集合与一个定义在此集合上的运算（还要满足某些条件，在此不一一列举）形成的一种代数结构。如果我们研究清楚了群的性质，那么此性质对整数和加法不是更成立？

上述的研究方法，直白地说就是去掉具体的条件，转而对抽象的代数结构进行分析，只要对这样抽象的结构有了完整的认识，对具体的问题只需进行一个简单的“特殊化”便能轻松解决了。这样的思想的确耐人寻味。因此，在平日的学习中，务必认清什么是定理中不可或缺的“主心骨”，什么是可有可无的繁枝细节。也不妨自己尝试着删掉一些条件，自己研究一个更抽象的结构。

反之，切勿拘泥于不重要的细枝末节，更不可进行肤浅的思考后洋洋自得，舍本逐末。或许一些极其巧妙，使人摸不着头脑的结论有更深刻的背景，而其表象只是某些无聊或甚至别有用心的人所截取。在深刻的、平静的思考中发掘事物中的本质，才是这场“精神磨砺”真正的意义。

务必谦卑

数学历史长河中那么多前辈的奇思妙想，一一习之总能令人惊叹，更让人发觉自己的渺小。数学的天地如此广阔，我们不应凭一时成功而自认为高斯再世。我们所看到的，所证明的永远只是冰山一角，殊不知多少同道中人为我们建起海平面下的冰山！1+1=2真的有那么显然吗？请君试想，整数如何定义？有理数如何定义？更困难一点，实数又如何定义？仅仅到这，也已经是了不起的工作了。当你用皮亚诺公理定义了整数，用整数的比值定义了有理数，但实数呢？早在2500年前，人们就困惑于如何表示边长为1的正方形的边长，而这样一个如今甚至已经出现在小学课本里的根号2该如何定义，这些数轴上除了有理数之外的“空隙”该如何填满，居然直到19世纪后半叶才被戴德金和康托尔等人完成！

请君面对自己已经掌握的知识也保持谦卑，因为如今看来较易理解的定理或结论或许是前辈呕心沥血上百年的成果。古人最初对数学的认识主要依靠图形，通过直观的几何窥视代数的奥秘。随着数学的发展，人们的思想逐渐深刻，人们的研究方式也逐渐抽象化。从简单走向一般，从直观走向抽象，数学家们一直想着最好的，却做着最难的。

公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，几个世纪后，阿基米德用近似积分求出各种图形的面积。在古代中国，刘徽的“割圆术”中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”和祖暅原理中“幂势即同，则积不容异”也有异曲同工之妙。很长一段时间后，柯西提出用分割区间、作和式的极限来定义积分随后达布、黎曼等人逐渐完善，终于解决了对大部分常见函数都适用的黎曼积分。然而，黎曼的理论中可积的函数都比较“正常”（专业点说，函数的不连续点可用任意小的区间所包围）。随着人们接触到更多“诡异”的函数，黎曼积分不再能满足人们的胃口，比如许多人知道的迪利克雷函数（即在有理数点取值1，其余取值0）。从直观上看，有理数点显然比无理数点“少得多”，积分值应该是0才更为自然。在几代数学家的努力下，勒贝格创造了勒贝格测度论，建立了一个完备的积分空间。

以上乃是积分发展的一小段历史，而我们若是能成为整个数学发展史中的一环，又是多么荣幸与幸福！

务必热爱

从古至今，多少人因为同一份热爱走到了一起，走进了这充满魔力的数学。18世纪中后期，斯德哥尔摩街头，砭人肌肤的冷风掠过一个乞丐满是沧桑的脸颊，他却毫不在意，沉浸地在地上画着什么。一位妙龄少女路过，顿时被地上的符号吸引，“你在画什么？”“我在创造世界。”“我更愿意相信这是数学。”“没错，小姐。我在用数学创造世界。”当两个热爱数学的人相遇，无需万语千言，数学的热爱便是桥梁。少女是皇室的公主，年方十八；而路边的老乞丐正是笛卡尔。身份、地位悬殊的两人相遇，创造了“第十三封情书”中心形曲线r=a(1-sinθ)的佳话。

如果你也热爱数学，请珍惜这份来之不易的幸运。为何要称其为一种幸运？你将有机会亲自走进数学殿堂，进行严谨而令人着迷的推理；你将沿着前人的脚步，时而会心一笑，与前人共享一次次巧妙，时而叹为观止，感慨前人追求真理的“疯狂”；你将完成一个个证明，用纸笔丈量数学的国土；你将让数学成为生活的一部分，与她共创辉煌。

或许你的证明为人称道而流芳百世，或许你的结论在潮流中沉没被人淡忘，或许你会成为后人重要发现的奠基，或许你关注的只是琐碎无人问津……牛顿曾将自己的成功归于前人之肩，成为牛顿一样的巨匠固然令人向往，而你面对未知的将来，又是否愿意成为“肩膀”或者“肩膀的肩膀”呢？不过，当你踏上数学之路的那一刻，肩膀与否早已关乎甚微。这是一个人的朝圣，这是一群人的朝圣！他们是幸福的，数学即是使命，使命带来幸福。