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四元数的定义和复数非常类似，唯一的区别就是四元数一共有三个虚部，而复数只有一个。所有的四元数q∈H（H代表四元数的发现者William Rowan Hamilton）都可以写成下面这种形式：
上面这个看似简单的公式就决定了四元数的一切性质。
与复数类似，四元数其实就是对于基{1，i，j，k}的线性组合，四元数也可以写成向量的形式。
此外，我们在表示四元数时，还经常把实部与虚部分开，用一个实数s表示实部，用一个三维向量来表示虚部，将其表示为标量和向量的有序对形式：
定义及性质
模长（范数）
仿照复数的定义，我们可以暂时将一个四元数q=a+bi+ci+dk的模长（或者说范数（Norm））定义为：
而如果用标量向量有序对的形式进行表示的话，q=[s，v]的模长为：
显然，四元数的模长很难用几何的方法来进行理解，因为它代表的是一个四维的长度.但是，和高维向量的模长一样，这只是类比复数模长进行衍生定义的结果，我们只需要将它理解为一个定义就可以了.。
四元数加减法
与复数类似，四元数的加法只需要将分量相加就可以了.如果我们有两个四元数q1=a+bi+cj+dk，q2=e+fi+gj+hk，那么它们的和为：
他们的差为：
而对以标量向量有序对形式定义的四元数来说：q1=[s，v]，q2=[t，u]，那么：
四元数标量乘法
如果我们有一个四元数q=a+bi+cj+dk和一个标量s，那么它们的乘积为对应项系数相乘：
四元数与标量的乘法是遵守交换律的，也就是说sq=qs。
四元数乘法
四元数之间的乘法比较特殊，它们是不遵守交换律的，也就是说一般情况
下q1q2 ≠ q2q1．这也就有了左乘和右乘的区别．如果是q1q2，那么我们就说
「q2 左乘以q1」，如果是q2q1，那我们就说「q2 右乘以q1」．除了交换律之外，我们经常使用的结合律和分配律在四元数内都是成立的。
那么，如果有两个四元数𝑞1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 𝑗 + 𝑑𝑘 和𝑞2 = 𝑒 + 𝑓 𝑖 + 𝑔𝑗 + ℎ𝑘，那么它们的乘积为：
上式中的结果还是有点凌乱，我们根据博客开始的地方：
等到如下所示的表格：
（其中有颜色的地方表示不能使用乘法交换律）
利用上式表格，对四元数乘积的结果进一步化简：
同时上式还可以简单的写成一个矩阵形式，如下所示：
注意这个矩阵所做出的变换等价于左乘𝑞1．因为四元数不符合交换律，所
以右乘𝑞1 的变换是一个不同的矩阵，它可以使用完全相同的方法推导而得，结果如下：
Graßmann 积
对上述q1q2乘积结果进行重新整理如下所示：
令：
那么：
（注意：v × u的结果是一个向量，这里的i、j、k 是向量的基，写成这种形式结
果应该就非常清楚了，如果使用标量向量有序对形式来表示，q1 q2 的结果可
以用向量点乘和叉乘的形式表示出来）
写成有序对形式为：
这个结果也被叫做Graßmann 积
纯四元数
如果一个四元数能写成这样的形式：
那么我们则称𝑣 为一个纯四元数，即仅有虚部的四元数。
纯四元数有一个很重要的特性：如果有两个纯四元数𝑣 = [0, v], 𝑢 = [0, u]，
那么：
逆和共轭
因为四元数是不遵守交换律的，我们通常不会将两个四元数相除写为𝑝/𝑞 的形式。取而代之的是将乘法的逆运算定义为𝑝𝑞−1 或者𝑞−1𝑝，注意它们的结果一般是不同的。
其中，𝑞−1 是𝑞 的逆（Inverse），我们规定：
这也就是说：
显然，要在无数的四元数中寻找一个满足𝑞𝑞−1 = 𝑞−1𝑞 = 1 的𝑞−1 是非常困难的，但是实际上我们可以使用四元数共轭的一些性质来获得𝑞−1。
我们定义，一个四元数𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 𝑗 + 𝑑𝑘 的共轭为𝑞∗ = 𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐 𝑗 − 𝑑𝑘（𝑞∗ 读作「q star」）。如果用标量向量有序对的形式来定义的话，𝑞 = [𝑠, v] 的共轭为𝑞∗ = [𝑠, −v]。
共轭四元数的一个非常有用的性质就是：
可以看到，这最终的结果是一个实数，而它正是四元数模长的平方：
所以：qq* = q*q，满足乘法交换定律。
引入之前定义的四元数逆，qq-1 = 1。
用这种办法寻找一个四元数的逆会非常高效，我们只需要将一个四元数的虚
部改变符号，除以它模长的平方就能获得这个四元数的逆了．如果∥𝑞∥ = 1，
也就是说𝑞 是一个单位四元数(Unit Quaternion)，那么
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