|
这是一道高考数学真题，与抛物线、圆与及圆的切线有关，题目还是比较烧脑的，既需要解题技巧，也要有挑战复杂运算的精神。题目是这样的： 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l: x=1交C于P, Q两点，且OP垂直于OQ，已知点M(2,0)，且圆M与l相切. (1)求C，圆M的方程；【第一小题都是送分题】 (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与圆M相切。判断直线Ａ2A3与圆M的位置关系，并说明理由。 解：(1)【有图有真相，可以画出草图，帮助理解】  依题意，圆M的半径：r=2-1=1，圆M的方程为：(x-2)^2+y^2=1. 可设抛物线C的方程为：y^2=2px, 不妨设P(1, 根号(2p)), Q(1, -根号(2p)), 则 PQ=2根号(2p)=2，解得p=1/2, 所以抛物线的方程C为：y^2=x. (2)【可以猜想，直线A2A3与圆M相切的，然后往相切去证明，结果不成立，则必有距离之间的大小关系，再判断其它位置关系。】 设A1(y1^2,y1), A2(y2^2,y2), A2(y3^2,y3), 则 直线的解析式分别为： x/(y1+y2)-y+y1y2/(y1+y2)=0, x/(y1+y3)-y+y1y3/(y1+y3)=0, x/(y2+y3)-y+y2y3/(y2+y3)=0. 【看到这么复杂的三个解析式，可能很多人就开始敲退堂鼓了。不过千万不要放弃，继续解下去，会有意外的惊喜的。判断直线与圆的位置关系，无非判断圆心到直线的距离与半径的关系。首先由已知的相切关系，可知，】 点M到Ａ１Ａ２，以及A１A3的距离分别为： |2+y1y2|/根号(1+(y1+y2)^2)=1, |2+y1y3|/根号(1+(y1+y3)^2)=1, 【对它们进行化简，两边乘以分母后，再两边同时平方，去掉根号和绝对值符号】 化得：(y1^2-1)y2^2+2y1y2+3-y1^2=0, (y1^2-1)y3^2+2y1y3+3-y1^2=0, 【两个等式非常相似，如果用y表示一式中的y2，和二式中的y3，就可以发现y2,y3是关于y的二次方程的两个根。这一步非常巧妙。】 即(y1^2-1)y^2+2y1y+3-y1^2=0有两个根y2和y3, 点M到A2A3的距离为： |2+y2y3|/根号(1+(y2+y3)^2)=|2+(3-y12)/(y1^2-1)|/根号(1+(2y1/(y1^-1))^2)=1 所以A2A3也与圆M相切。  通过复杂运算，得到简单的结果，能不能给你带来一种解压的感觉呢？ |
|
|
