你不可不知的高中版函数逼近论！

数学的发展历程中，我们从没有一刻停止过去寻找一个可以一劳永逸刻画这个世界规律的数学模型，函数逼近论亦是如此.

从文艺复兴开始，我们在刻画事物的变化规律时希冀于找到一个“万能函数”，通过这个函数，一切已知的，未知的变化规律都可以通过它来刻画，我们要做的就是设计一个固定的算法来运行即可.

第一个上线的“万能函数”当然是线性函数，牛顿与莱布尼茨等一众大师所做的工作，也是今天师生共知的四个字：以直代曲！用导数的定义，任意一条曲线在其上任意一点及其附件的信息，可以用该点处的切线及其信息来刻画.

于是，我们发现，用多项式函数可以做那个心中的“万能函数”来实现我们的宏大理想. 当然，它也确实没让人失望，泰勒逼近诞生了！

那么是不是泰勒多项式就是我们苦苦追求的“万能函数”呢？当然不是，它能拟合的函数必须是可导的，我们熟悉的在处就不能用泰勒多项式来拟合，更何况魏尔斯特拉斯函数那个处处连续但处处不可导的家伙，它对泰勒多项式来说简直就是恶魔般的存在.

于是，我们探寻“万能函数”之路就得继续！接下来的傅里叶级数，希尔伯特空间等等，以至于诞生了一门专门研究的学科：函数逼近. 当下的大数据时代，函数逼近论的作用越发重要，海量数据需要我们来预测与拟合，机器学习，深度学习，其中的数学原理多多少少都离不开函数逼近论.

说到这，你可能会明白高考为啥就喜欢考着几个不等式了吧：

往小了说，这是我们课本上出现过的，以直代曲，以曲代曲的经典例子，往大了说，这其实就是函数逼近论，是现代数学的精华，更是现代数学的核心思想，我们从未停止寻找心中的那个“万能函数”！

平面向量里有一个重要的定理：平面向量基本定理：只要我们能在平面里找到两个不共线的非零向量做基底，这个平面内的所有向量都可以用这两个基底来表示，学过泛函的小伙伴都清楚，这其实就是逼近论的几何形式！

所以，逼近是我们高中数学中一个很具有现代感的思想，当然我们称呼其另一个名字较多：放缩！接下来的几节，我想谈一谈目前中学阶段几种常见的函数逼近（放缩）及其应用：

1.切线放缩

2.泰勒展开

3.分式放缩与帕德逼近

4.代换放缩法

5.切比雪夫最佳逼近