【河南中考】（2021年解答题23题）几何综合探究题解读与解析

一个大风子 2022-02-16

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通过本文的学习（阅读），伙伴们要弄清楚以下几个问题

1.几何综合探究题河南出题有什么特点？有什么新的变化？

2.5种基本的尺规作图有哪些？分别是如何作的？依据是什么？以往河南中考尺规作图常如何考查？

3.证明全等的方法有哪些？常见的边、角相等的条件有哪些？你有什么经验教训？

4.常见的全等模型有哪些？它们分别有什么条件？有什么结论？如何证明？有什么注意事项？

5.证明相似的方法有哪些？常见的相似模型有哪些？它们分别有什么条件？有什么结论？如何证明？有什么注意事项？

6.特殊角30°，45°，60°常处理如何？特殊角120°，135°，150°常处理如何？特殊角15°，22.5°， 75°常处理如何？

7.常见的分类讨论有什么特征？分类讨论涉及的有哪些类型？分类讨论常出现在河南中考的哪些题位？你有什么经验？你有哪些困难？

8.几何探究题中，往往涉及画图、分析转化，你有哪些方法策略？

2021河南中考解答题23题

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l₁，l₂，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．

简述理由如下：

由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．

……

任务：

（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是　　（填序号）．

①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL

（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．

（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF

=\sqrt{3}+

1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．

命题解读

本题是与尺规作图结合的三角形综合题探究题，命题出现一些新的变化，难度上有所降低，试题有继承，有变化，有创新：

1．试题的背景、设问、考点、阅读量均与以往有所不同．

以“尺规作角平分线”阅读材料为背景，考查全等三角形的判定与性质，要求学生通过材料阅读、思考填写作图依据、拓展作图并证明作图的合理性，并进一步探究求线段的长度；

2．试题加大了阅读量，试题注重引导学生关注数学本质，引导学生理性思考，自主思考，让学生真正体验探究学习过程；

3．试题改变以往的固化思维模型，打破了连续七年的 “手拉手模型” 的类比拓展探究题，加大激发学生的创新意识和探究意识；

4．试题依旧注重逻辑推理，依旧注重分类讨论，依旧注重拓展延伸，依旧注重探究意识培养，依旧注重基本图形的分析转化．

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（1）选填全等的依据

思维点：由作图得，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，可知Rt△PGO≌Rt△PHO的依据HL；

（2）证明OP是∠AOB的平分线

方法1：连接EF，证△CEF≌△DFE，从而得到∠PFE＝∠PEF，于是PE＝PF，所以OP垂直平分EF，再利用“三线合一”可得OP是∠AOB的平分线；

方法2：连接EF，证△CEF≌△DFE，从而得到∠PFE＝∠PEF，于是PE＝PF，再证△OPE≌△OPF，可得OP是∠AOB的平分线；

方法3：连接EF，证△DOE≌△COF，从而得到∠OED＝∠OFC，进一步∠PFE＝∠PEF，于是PE＝PF，以OP垂直平分EF，再利用“三线合一”可得OP是∠AOB的平分线；

方法4：连接EF，证△DOE≌△COF，从而得到∠OED＝∠OFC，进一步∠PFE＝∠PEF，于是PE＝PF，再证△OPE≌△OPF，可得OP是∠AOB的平分线；

方法5：由作图得，OC＝OC，OE＝OF，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明△DOE≌△COF、△CPE≌△DPF、△OPE≌△OPF，从而得到∠POE＝∠POF，所以OP是∠AOB的平分线；

方法6：连接CD，证△DOE≌△COF，导角∠PCD＝∠PDC，于是PC＝PD，再垂直平分线和三线合一得OP是∠AOB的平分线；

方法7：连接CD，证△DOE≌△COF，导角∠PCD＝∠PDC，于是PC＝PD，再证△POC≌△POD，所以OP是∠AOB的平分线；

方法8：连接CD，证△CDE≌△DCF，导角∠PCD＝∠PDC，于是PC＝PD，再垂直平分线和三线合一得OP是∠AOB的平分线；

方法9：连接CD，证△CDE≌△DCF，导角∠PCD＝∠PDC，于是PC＝PD，再证△POC≌△POD，所以OP是∠AOB的平分线；

……

（3）求OC的长

思维点：连接OP，由已知条件可证明∠OPC＝∠OCP＝75°，从而得OP＝OC，再过点P作OA的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系及分类分别求出OC的长．

题目详解

解：（1）⑤．

解法提示：

如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO＝∠PHO＝90°，

∵OE﹣OC＝OF﹣OD，

∴CE＝DF，

∵CG

=\frac{1}{2}\

CE，DH

=\frac{1}{2}\

DF，

∴CG＝DH，

∴OC+CG＝OD+DH，

∴OG＝OH，

∵OP＝OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），故答案为：⑤．

（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：

如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，

∴△DOE≌△COF（SAS），

∴∠PEC＝∠PFD，

∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，

∴△CPE≌△DPF（AAS），

∴PE＝PF，

∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，

∴△OPE≌△OPF（SAS），

∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，

∴OP是∠AOB的平分线．

（3）2或2

+\sqrt{3}

．

解法提示：

如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，

由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，

∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，

∵∠AOB＝60°，

∴∠POE＝∠POF

=\frac{1}{2}\

∠AOB＝30°，

∵∠CPE＝30°，

∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，

∴∠OCP＝∠OPC

=\frac{1}{2}\

（180°﹣∠POE）

=\frac{1}{2}\

（180°﹣30°）＝75°，

∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，

∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，

∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，

∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，

∴MP＝ME，

设MP＝ME＝m，则OM＝MP·tan60°

=\sqrt{3}

m，

由OE

=\sqrt{3}+

1，得m

+\sqrt{3}

=\sqrt{3}+

1，解得m＝1，

∴MP＝ME＝1，

∴OP＝2MP＝2，

∴OC＝OP＝2；

如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，

同理可得，∠POE＝∠POF

=\frac{1}{2}\

∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，

∴OE＝OP

=\sqrt{3}+

1，

∵MC＝MP

=\frac{1}{2}\

=\frac{1}{2}\

=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\

，

∴OM＝MP·tan60°

=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\times\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\

，

∴OC＝OM+MC

=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\

+\frac{\sqrt{3}+1}{2}=

+\sqrt{3}

．

综上所述，OC的长为2或2

+\sqrt{3}

．

方法总结

1．关注“基本图形” 提升“思维品质”

一个平面几何图形，常可分解成若干个基本图形．因此，基本图形是构成复杂图形的细胞．证明平面几何问题时，若从基本图形入手，先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形，然后充分利用这些基本图形的性质去证，常可思路广阔，容易证明．平时注意从习题中提炼常用的基本模型，并通过识模、用模，从而强化对基本图形的理解．

2．全等三角形的常见类型

（1）利用构造旋转型全等解决问题，主要涉及“当图形中有一组邻边相等的问题”，解题时往往可以通过旋转构造全等解决问题，常出现在：

①半角模型：特点是大角夹半角，且邻边相等，处理策略是先构造旋转型全等，然后判断对称型全等解决问题；

②对角互补模型：特点是四边形对角互补，且有一组邻边相等或对角线平分角，处理策略是垂直法构造全等或旋转法构造全等；

③三爪图模型：特点是背景三角形一般式是等边三角形或等腰三角形或等腰直角三角形或底角是30°的等腰三角形，和一定点并连接三角形三个顶点（这个定点可能在三角形内或者三角形外），处理策略是借助等线段共端点构造旋转型全等解题；

⑤手拉手模型：理策略是借助等线段共端点构造旋转型全等或补全拉手线造全等解题；

（2）对称型全等

与角平分线相关的常构造对称型全等；

3．特殊角处理策略

在解决有关线段或角度的问题，注意挖掘特殊角往往是解题的关键

(1) 认识特殊角：初中常见的特殊角有: 30°,45°,60°,90°,120°,135°150°及15°、22.5°、75°等；

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