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河南卷

2021中考数学

2021次列车已到站，同学们远走高飞，老师们原路返回，写题喽！！！

2021河南23

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.

小明：如图1,

(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);

(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线,,交点为P,垂足分别为点G,H;

(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.

简述理由如下：

由作图知,∠PGO=∠PHO=90°,

OG=OH,OP=OP,

所以Rt△PGO≌Rt△PHO,

则∠POG=∠POH,

即射线OP是∠AOB的平分线.

小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,

(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);

(2)连接DE,CF,交点为P;

(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.

......

任务

(1)小明得出Rt△PGO≅Rt△PHO的依据是     (填序号).

①SSS   ②SAS   ③AAS   ④ASA   ⑤HL

(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.

(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=+1.点C,D分别为射线OA,OB上的动点,且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.

解法分析(1)

依据是⑤.

解法分析(2)

角平分线的定义

①△DOE≅△COF(SAS)

②△PEC≅△PFD(AAS/ASA)

③△CPO≅△DPO(SSS/SAS)

④射线OP是∠AOB的平分线(角平分线的定义)

①△DOE≅△COF(SAS)

②△PEC≅△PFD(AAS/ASA)

③△OEP≅△OFP(SSS/SAS)

④射线OP是∠AOB的平分线(角平分线的定义)

角平分线的判定

①△ODE≅△OCF(SAS)

②S△CPE=S△DPF(等式性质1)

③PM=PN(三角形面积公式)

④射线OP是∠AOB的平分线(角平分线的判定定理)

三线合一

①△CEF≅△DFE(SAS)

②PE=PF(等角对等边)

③OP⊥EF(线段垂直平分线的判定定理)

④射线OP是∠AOB的平分线(等腰三角形三线合一)

①△DCE≅△CDF(SAS)

②PC=PD(等角对等边)

③OP⊥CD(线段垂直平分线的判定定理)

④射线OP是∠AOB的平分线(等腰三角形三线合一)

解法分析(3)

第三问是前两问的类比迁移，画出示意图后，根据前面探究出的结论解决问题即可：

作PG⊥OE于点G，设PG=，

则OE=+=+1 ，

解得：=1，

所以OC=OP=2=2；

作PG⊥OE于点G，设PG=，

则OE=OP=2=+1，

解得：=，

所以OC=(+1)=2+；

综上所述：线段OC的长为：2或2+.

解不一般的一般三角形

①含有特殊锐角的三角形(30°、45°、60°)，作高→背对背型(含特殊三角形).

举例如下：(割补法——割)

②含有特殊钝角的三角形(120°、135°、150°)，作高→子母型(含特殊三角形).

举例如下：(割补法——补)

END

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