高中物理竞赛第二讲：数学基础之微积分（中）—— 导数和微分

     说明：本辅导内容适合在高一上学期后半学期开始，并非对重点中学的专业竞赛生，而是针对普通高中部分优秀学生而设，以提高物理兴趣为目的，所以对高等数学中太过深奥而物理较少涉及的部分予以回避，其目的主要是不用担心学生话费太多时间在数学上，而应该把重心放在物理上。

                       导数的起源

      导数起源大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E)-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f'（A）。

       17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；更在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

       1750年，达朗贝尔在为法国科学院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：

      1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。

      19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重新表达。好吧，继续开始我们的物理数学课吧！

                         

     导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率。导数亦名纪数、微商（微分中的概念），物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

       本公众也曾推出过“用导数求解物理极值问题”专题，感兴趣的朋友可以翻阅历史推送哦！下期我们就可以讲积分知识啦！