以最简单的方法理解小波变换的基本原理

先从最简单的力的分解开始：

图1

从图1中我们看到，一个力分解以后，给了我们这样一个映像：余弦函数好像是和正弦函数相互垂直的（F1在X轴，F2在Y轴）。由此出发，我们得出了傅里叶级数的分解：

图2

图3

正弦余弦函数满足的图3中的关系，我们就认为它们是垂直的（正交），因为X轴与Y轴垂直也是人为定义的。那么，参照图1，我们可以认为cosnx(n是变化的)与X轴相似，sinnx与Y轴相似。我们还注意到，不同的n，相同的余弦函数相互之间也是正交的，正弦函数也一样。也就是说，同样的X轴，还存在着相互正交的n不相同的余弦函数。这就是所谓的正交空间。正是因为有了图3中的那些正交关系，我们才能够顺利地求出图2中傅里叶级数的那些系数

an。

现在，我们引入小波函数：

图4

图4的小波函数中，存在着两个变量：缩放变量a和平移变量

按照傅里叶级数中正交空间的理解，不同的缩放变量会生成不同的函数，这些函数间相互正交；不同的平移变量也会生成不同的函数，这些函数间同样相互正交。同时，两个不同的变量生成的函数之间也相互之间。这就是小波分解的最初思想。

那么，有了傅里叶变换，为什么又要有小波变换呢？

图5

首先，图5中的小波函数，只是在很短的时间内（横轴）有非0值，这也是小波名称的由来。

图6

图7

我们对照图6和图7 的傅里叶变换和小波变换的表达式，会发现小波变换的核函数

在整个时间域内都有非零值，而小波函数则不是。这种特性会导致傅里叶变换在处理某些突变信号或者其它情况的时候产生不理想的效果。具体可参阅网络其它文章。

图8

图8表示，通过小波平移，对于一个变化的信号，我们可以得出更理想的结果。因为从图6

图7我们可以看出，无论傅里叶变换还是小波变换，都是用待变换的函数f(t)和核函数相乘，类似于求它们的相关系数。

图9

再看图9，小波经过缩小以后（由下往上），让缩小了的小波函数去和一个函数值变化较大的地方相乘从而得出它们的相关系数，这种方法明显要更好一些，因为更能分辨出函数的变化细节。

图10

图10是一个具体的Haar小波。

图11

图11表示，Haar小波经过平移和缩放以后会产生正交空间。

有了这些基本概念以后，我们接着只要搞清楚如何寻找基本基函数，如何分析它们生成的正交空间就可以了。