高考数学秘笈：四步解题法24——构造相同之“最难”高考题剖析

冯跃峰

本节我们用一个难度较大的高考题的例子，说明解题中如何“构造相同”，它可以称得上是史上“最难”高考题之一。

【题目】设A是定义在[2，4]上且满足如下条件的函数f（x）组成的集合：

①对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）∈（1，2）；

②存在常数L（0<L<1），使得对任意的，都有。

；

如果存在，使得，那么这样的是唯一的；

任取∈（1，2），令，n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式

。

（2006年高考压轴题）

【分析与解】先考虑问题（I），其目标为：验证满足①和②。

①对任意的x∈[1，2]，都有∈（1，2）。

②存在常数L（0<L<1），使得对任意的∈[1，2]，有

。

其中①是很简单的，直接由条件“1≤x≤2”，构造目标中的，估计其取值范围即可。

实际上，由1≤x≤2，得3≤1+2x≤5，所以

1<≤≤∈<2，

于是有∈（1，2）。

对于②，我们分割目标，建立这样的解题主线：

——→。

解题的关键，是在当前状态中构造，这将

中的“根号”去掉（有理化）即可。

所以采用如下变形：

，

取，则结论成立。

下面考虑问题（II）。这是唯一性问题，通常用反证法。

假定还有，如何导出矛盾？先要明确解题的目标！

显然，由唯一性，我们要证明：

于是要在相关条件中构造。

哪一个条件与之接近？——显然是条件②。

由条件②，存在0<L<1，使

下面考虑问题（III），其目标很复杂，有两个一般性参数：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式

。

直接解决这个一般性问题比较困难，可采用“退”的策略来简化目标。

先考虑p=1的情形，目标变为：

（*）。

如果证明目标（*）还找不到思路，可继续用“退”的策略来简化目标！

比如，取定k=1时，则目标（*）变为

，它显然成立。

取定k=2，则目标（*）变为

对这个子问题，可分割目标，建立如下的解题主线：

——→

（从一边放缩到另一边）。

寻找条件，有:，

，…，

以及①对任意的x∈[1，2]，都有

f（2x）∈（1，2）；

②存在常数L（0<L<1），使得对任意的，都有

现在要由当前状态“”放缩到“”，而具有放缩功能的条件是条件②，这就要由当前状态先构造条件中的。

这利用另一个条件：即可。

于是，。

至此，利用条件②进行放缩，解题水到渠成：

。

由这一特例，已经可看出p=1（k任意）的一般问题的解决方案了：反复进行上述放缩即可。如果一时还没有看出规律，还可继续看看k=3的情形。

当k=3时，目标（*）变为

。

对这个子问题，可建立如下解题主线：

——→。

仿上，由先放缩到，进而放缩到。具体过程如下：

。

一般地，对p=1（k任意），我们有

，

结论成立。

对p=2的情形，解法类似，请大家自己完成（这是解决原题的关键）。

当p=2时，目标变为：

。（*）

注意：前面研究过程中的方法和结论都是值得借鉴的！

由上已经得到

，

它表明：任意相邻两项之差可以向转化（放缩变形）！它包含的不是一个不等式，而是无数个不等式（k可以任意取值）！

比如：

…

由此想到将以上两个不等式相加，有

至此，已经不难完成原题的证明了！

具体解答如下：

【新写】（I）对任意的x∈[1，2]，

有 3≤1+2x≤5，

所以1<≤≤<2，

于是∈（1，2），条件①满足；

对任意的，有

，

取，知条件②满足。

所以f（x）=∈A。

（II）

假定还有，

则由条件②，存在0<L<1，使

所以1≤L，与“0<L<1”矛盾，于是，满足条件的是唯一的。

（III）因为，

且

由条件①知，对n=1，2，…，有∈（1，2）。

进而，由条件②知，存在常数0<L<1，使对任意正整数n，有

于是，对给定的正整数k及任意的正整数p，有

，

命题获证。

附：四步解题法的框图如下：