【原】复变函数：解析函数(3)

初等解析函数

如同实函数中的基本初等函数一样，在复变函数中也有初等解析函数，他们都是实函数中基本初等函数的推广.

1.2.1：指数函数

定义

我们知道，在实函数中：

我们将带入，可以得到：

这启发我们定义为：

这样的定义是和实函数吻合的，因为当时，.

我们不加证明的给出这个函数的性质：

1. (可微性)在上是解析的.(将其写为实部和虚部的形式，利用C-R方程以及可微的条件.)
2. (非负性)对于任意的,这是因为.
3. (周期性) 是以 为周期的周期函数，即
4. (指数的运算性质)对于任意 , 有

几何性质

我们先来研究的单值性.

定义1.2.1：设 是一个复变函数, 如果对域 中任意两点 , 必有 , 就称 在 中是单叶的, 称为 的单叶性域.

显然不是的单叶域，这是因为对任何的和他们的值都是相同的.下边我们来探讨的单叶域.

如果，那么有：

那么应该实部相等，虚部相差一个,那么意味着在任何的这样的辐角不超过的区域，都是单值的.我们给出最大的单值区域.

当然这只是其中一种表示，我们可以不以的整数倍为起点. 下边我们来用几何图形来表示这个映射.考虑如下：

那么显然将映射为整个平面.且将平行轴的映射为与轴夹角为的射线.如图所示.

1.2.2 ：对数函数

定义

现在考虑的反函数，应该定义为：

解.我们将其记为：

现在我们考虑这个函数的性质.记,显然：

这也是一个多值函数.现在我们来看一看其单值区域.

定理1.2.1：如果 是不包含原点和无穷远点的单连通域, 则必在 上存在无穷多 个单值全纯函数 , 使得在 上成立

而且对每一个 , 有 . 其中的每一个 都称为 在 上的单值全纯分支.

证 对给定的 , 选定它的辐角 , 这里, 是 的辐角的主值, 即 是任意一个给定的整数. 在 上定义

这时, . 容易验证这时有

利用极坐标下的C-R方程可知, 是 上的全纯函数, 而且

此外,

对每一点 成立.

这里要求该区域不能包含无穷远点和原点，因为这样会使辐角转过,此时不能保证是单值分支了.

为了方便我们的叙述，我们引入下边的记号：

定义1.2.2：如果当 沿着 的充分小邻域中的任意简单闭曲线绕一圈时, 多值函 数的值就从一支变到另一支, 那么称 为该多值函数的一个支点.

如0就是的一个支点.

1.2.3：幂函数

类似实函数中，我们形式定义幂函数为：

由于我们之前已经定义过了，因此我们可以得到上述函数的具体表达式，设.那么：

现在我们来讨论这个函数的多值性，由于是多值函数，因此很容易想到这个函数大致上也会有多值性.现在我们对来讨论：

1

目前由于我们的手段仅能供我们研究的情况，以及的时候,特别的是及其反函数，现在我们来看看其几何意义.

我们先看看这两个函数的单值区域.

先看 的单叶性域. 设 , 如果 , 但 , 即 , 因而 . 因此, 只要域中不出现这样两个点, 它 们的辐角差等于 , 这样的域便是 的单叶性域. 例如, 便 是它的一个单叶性域. 一般来说, 域

是它的单叶性域, 它在 映射下的像是

他将的角形区域映为的角形区域.

类似的对于将大角形区域映为小角形区域.

最常用的便是利用将整个平面映为上半平面.以及利用将整个区域映为第一象限.

1.2.4:三角函数

最后我们来讨论三角函数，由于：

这启发我们定义三角函数为：

下边我们不加证明的给出它的性质：

1. 
   

2. 在上解析.
3. 以为周期
5. 仅在处为0，仅为处为0
6. 和不是有界函数.例如取.
7. 用我们可以类似实函中定义等等.

复变函数  第0章：预备知识(1)

复变函数第0章：预备知识(2)

复变函数第0章：预备知识(3)

复变函数 第一章：1.1解析函数

复变函数第一章：解析函数(2)