Chapter 1. 真空中的静电场(1) 电荷守恒 自然界存在正负两种电荷，并且物体所带电荷量是量子化的，最小的一份电量是质子或电子所带电荷的绝对值 。Dirac 提出了描述电子运动且满足相对论不变性的波动方程，以及预言了电荷对称性。事实上对于一个孤立系统而言，电荷总量是守恒的。 (2) Coulomb 定律 Coulomb 扭秤的扭转角度与力矩成正比，即在力臂固定的条件下是与作用力大小成正比，由此得到 Coulomb 定律 ，其中 ，且 Coulomb 定律适用于尺度为零的点电荷且近似适用于低速运动的点电荷。 (3) 叠加原理 将带电体分割为多个电荷元，而电荷体密度定义为 ，设 为某个点电荷 的位置矢量，则指定带电体对该点电荷的作用力为 ，同理可以得到带电体系之间的作用力。 (4) 电场强度 根据试探电荷 的受力可以定义电场强度为 ，从而得到点电荷的电场强度为 ，然后通过电场叠加原理和微积分运算求得各种情形下的电场强度分布。电场是一种物质，带电体之间的相互作用通过电场传递，是低速度情形的近距作用。而在静电学中，近距作用与超距作用不作区分。 (5) 静电场的 Gauss 定理 静电场关于通量的定理称为 Gauss 定理，Gauss 定理指出，任意封闭曲面的电通量等于曲面内部电荷总和除以 ，即 。Gauss 定理来自 Coulomb 定律且适用于任意电场，可以解决一维对称性的静电学问题，但是 Gauss 定理却没有反映静电场是保守力场的特性。 (6) 静电场的环路定理 静电场关于环量的定理称为环路定理，静电场的环量为 ，静电场是保守力场，做功与路径无关。电场线的切线方向即为场强方向，密度与电场强度大小成正比。 (7)电势 由于静电场是保守力场，故存在势函数，于是将电场力做的功定义为电势能的减少 ，其中 是粒子的电势能，选定势能零点后就可以确定电势能的绝对值。如果约定无穷远处为势能零点，则定义电势差 ，故带电量 的点电荷在某处产生的电势为 。根据电场强度的叠加原理可知，电势也满足叠加原理，其中电势与场强之间满足 ，并且存在诸多等势面，电场强度总是垂直于等势面且等势面越密集，电场强度越大。 Chapter 2. 静电场中的导体和电介质(1) 物质的电性质 由于电荷不能独立于具有静止质量的粒子而存在，故电荷的移动是带电粒子的运动，但金属导体的载流子是电子，它的价电子可以摆脱原子束缚而在导体中自由移动，电解质溶液的载流子是溶质分子离解产生的阴阳离子，电离气体的载流子是气体分子电离产生的阴阳离子和完全脱离分子束缚的电子，半导体的载流子有带负电的电子和带正电的空穴，前者称为 N 型半导体，后者称为 P 型半导体，低温超导体的载流子，是一对自旋相反的电子束缚形成的库珀对。 (2) 静电场中的导体 导体内部存在大量载流子或自由电荷，在外加电场的作用下会定向移动，直到内外电场彼此抵消使得导体内部电场恒为零。 处于静电平衡下的导体内部电场为 ，这是外加电场与感应电荷产生的电场彼此叠加的结果，由于合场强为零，故导体是等势体，即导体上任意两点的电势差为零。根据静电场的 Gauss 定理可知，导体内部电荷密度总为零，又由于任意封闭曲面的电通量为零，故电荷只能出现在导体的表面。 导体表面外侧的电场线与导体表面垂直且场强大小为 ，这个结果只需取一个很小的面积元并运用高斯定理即可得到。 导体外表面存在电荷时，表面处曲率越大，则面电荷密度越大。事实上避雷针就是利用了导体尖端部分曲率大和单位面积带电量大的特点，在尖端附近具有强大的电场，使得空气中的自由电荷运动速率加快，然后与空气分子碰撞使之电离，形成击穿效应。因此使用避雷针可以优先击穿附近的空气，避免云与地面之间形成过高的电势差而产生大规模放电。 另外场致发射显微镜则是通过金属尖端产生的强电场使氦原子电离，然后与荧光质导电膜发生碰撞引起发光，场致发射显微镜的放大率优于电子显微镜。事实上实验室中许多仪器的金属外壳接地，利用静电屏蔽效应，避免实验室内外电场彼此干扰。 对于接地的导体空腔，如果腔内没有电荷，那么腔内场强处处为零，空腔与导体壳等电势，内表面没有电荷分布，外界电场不影响腔内电场分布，如果腔内有电荷，内表面会感应出等量反号的电荷，接地时腔内电荷不会影响腔外。 Coulomb 定律中的平方反比律很难根据实验直接精确验证，但是可以从静电场的 Gauss 定理得出，Cavendish 根据实验证明了满足 Coulomb 定律的金属球壳的内表面应该是不带电荷的。 (3) 电容和电容器 由于导体的电势和所带的电荷存在某种关系，故引入孤立导体电容的概念 ，实际电容器不是孤立导体，是由两块彼此靠近且绝缘的导体板组成，分别带电为 且板间电势差为 ，此时系统电容仍然可以按照上述进行定义，如果是两金属平行板组成的电容，如果忽略边缘效应，则有 ，如果是两同心导体球壳组成的球形电容器，则由静电场的 Gauss 定理可得球壳间电场强度为 ，进而有 ，如果是两同轴圆柱形导体壳组成的电容，则单位长度的电容为 。 电容器的关键参数除了电容量以外，还有耐压能力，即电容器两极可加的最大电压值。电容器的串联满足 ，电容器的并联满足 ，即串联会减小总电容，但是可以增加系统的耐压值。 (4) 电介质 电介质是绝缘体，内部没有自由电荷，不能导电，但在平行板电容器之间插入电介质后，可以使板间电势差降低以及电容增大。此时电介质产生的附加电场与原电场反向，但是电介质的附加电场不能完全抵消外电场。 电介质由许多电中性的原子和分子构成，由于原子核与核外电子的相互作用，这些电荷不能像导体中的自由电荷那样完全自由移动，但会部分受到外电场的作用。分子的极化分为无极与有极两种，这是根据分子内部正电中心与负电中心是否重合区分的。孤立无极分子的电偶极矩为零，但是外电场作用下正负电荷中心发生相对位移，分子的电偶极矩不再为零，即每个分子的电偶极矩都沿着外电场的方向，在与电场垂直的电介质两个表面上出现未被抵消的正负电荷，这就得到了极化电荷，而极化电荷不能转移到其他物体，也不能自由移动，是束缚电荷微观运动的宏观表现。极化电荷对外电场起减弱作用，称为位移极化。孤立有极分子的电偶极矩不为零，且由于分子无规则的热运动，电偶极矩的取向是杂乱无章的，在统计意义下表现为整个电介质的电场为零，在外电场作用下，所有分子的电偶极矩趋于转向外电场方向，最终效果与无极分子电介质极化类似，称为取向极化。有极分子电介质也有位移极化，但比取向极化弱一个数量级，因此通常只考虑取向极化。 (5) 极化强度矢量 单个分子的电偶极矩为 ，定义电介质的极化强度矢量为 表征电介质的极化状态。如果电介质中 处处相同称为均匀极化，否则称为非均匀极化，极化电荷的效果是削弱外加电场。 极化强度矢量与极化电荷的关系如下，只有正负电荷中心分列表面两侧的极化分子，才贡献了极化电荷，即 ，也即极化电介质内部的极化体电荷密度 。由于均匀极化电介质 为常量，故均匀极化电介质内部没有极化体电荷。而对于非均匀极化，有电介质表面极化面电荷密度为 ，此时另一个介质是真空或空气。 极化强度矢量与电场的关系如下：对于各向同性电介质，有 ，其中 称为极化率，一般在场强不大的情形下是常数，而对于各向异性介质，不同方向的极化率不相等，只需写为分量形式即可。 (6) 电介质中静电场的基本定理 考虑加入电介质后的 Gauss 定理，有 ，移项后则可以定义电位移矢量 且满足 ，此时使得 Gauss 定理中只出现自由电荷。同理电位移矢量与电场强度类似，存在电介质的静电场也是无旋场，也有电势的概念。 (7) 边值关系和唯一性定理 在两种电介质的交界处，电场强度通常会发生突变，故需要运用边值关系求解。具体主要利用 Gauss 定理和环路定理以及微元分析，于是得到界面两侧切向电场强度连续，因而电势及其一阶导数也是连续的且电位移矢量的法向分量连续。 如果给定了电荷分布，就可以根据 Coulomb 定律和场强叠加原理计算空间电场，则根据电位移矢量的 Gauss 定理与电场强度的环路定理，加上一些边值关系并确定唯一的静电场，即假定电场空间被一个等势面 包围，取 上电势为零，其中 可以是有限封闭曲面或趋向无穷远，由于均匀电介质各向同性，电常量已知且允许出现非均匀性，不同电介质界面处介电常数不连续，而全部自由电荷被电场中的导体所携带，介质中只可能出现极化电荷，又由于各导体的几何形状与相对位置已经给出，以及各自的电势或电量已经分别给定，此时 内的静电场唯一确定，这称作静电场的唯一性定理。 (8) 电像法 如果物体表面具有较好的对称性，它们的电场可以用电像法求解。考察区域的外部设置若干虚拟电荷，与原有电荷共同形成的电场满足边值关系或者电势条件。虚设的像电荷实际代表了考察区边界上的极化电荷、感应电荷等面电荷对考察区内部电场的贡献，可将问题简化成求解点电荷系产生的电场。 Chapter 3. 静电能(1) 真空中点电荷间的相互作用能 对于相互作用能，通常取相互作用力为零的状态作为零能态，于是 个点电荷的相互作用能为 ，其中 是除自身以外的电荷在该处产生的电势，进而得到 ，下标的对称性则说明这种相互作用能与移动的次序无关。 (2) 连续电荷分布的静电能 体电荷分布的静电能为 ，而面电荷分布的静电能为 ，但是线电荷的静电能不能按照上面的方法定义，这是由于点电荷或线电荷的静电能会发散到无穷，计算总静电能时不应采用这上述两种模型，只是在计算多个带电体之间的相互作用能时，可以使用这两种模型简化计算。 (3) 电荷体系在外电场中的静电能 由于可以利用试探电荷的电势能来定义电势，故接下来用已知电势求出点电荷的电势能为 ，而对于电荷体系与外电场的静电相互作用能为 ，离散体系只需将积分改为求和即可。 (4) 电场的能量和能量密度 根据近距作用的观点，静电能储存在电场中而非储存在电荷上。如收音机不需要电源却可以从耳机中发出声音，这是因为无线电台的电磁波给予了能量，电磁波是电磁场在空间中的传播，电场作为电磁场的组成部分，所以具有能量。又如平行板电容器的静电能为 ，又由于各向异性介质的电位移矢量和电场强度方向一般不相同，故电能密度为 ，此时均匀空间电场的总静电能为 ，而对于不均匀电场则有 。 (5) 非线性介质及电滞损耗 上面的静电能公式仅适用于线性无损耗介质，接下来讨论其他情形，如果仅使用均匀介质条件则有 ，即电源做功一部分用于增加宏观静电能，另一部分对介质做极化功。而极化功的具体形式与结果需要考虑介质的极化规律，线性无损耗介质的极化功全部转化为介质的极化能，电源做功全部转化为电容器的静电能，故非线性有损耗介质的极化能密度表达式将发生变化，且极化功的一部分转化为了热量。铁电体的 与 的关系是非线性的和非单值的，且依赖于极化过程，故电滞回线环路积分不为零，因此产生的热量称为电滞损耗。 (6) 利用静电能求静电力 如果已知系统静电能的分布就可以根据 求出作用在某一段导体上的静电力，此时需满足孤立系统各导体的电量不变且外界不以任何方式为系统提供能量。如果不是孤立系统，则有 ，得到 ，此时需满足各导体的电势不变。事实上可以随意设想系统状态的变化，且整体思想与虚功原理类似，而上述的两个公式也不限于所设的条件，毕竟这只是设想的变化以及二者等效。 Chapter 4. 稳恒电流(1)稳恒条件 电流是由运动的电荷产生，则电流强度定义为 ，上式只描述了通过导体某一截面的总电流大小，但截面上各点的电流大小甚至方向都可能不同，故定义电流密度 ，其中 是电流方向的单位矢量，则已知电流密度就可以求得通过任意截面的电流强度为 。 电流连续方程反映了电流分布与电荷分布之间的关系，其中微分形式为 ，上式描述了封闭曲面内部电荷总量与穿过该曲面的电流强度之间的关系。而对于稳恒电流，导体内各点的电流密度与时间无关，故任意区域的总电量随时间的变化率一定为零，则有 ，即电流的稳恒条件，事实上稳恒电流的电流管一定是闭合的并且任意截面的电流强度都相等。 (2) Ohm 定律 在导体中载流子的定向移动会受到阻碍，故维持稳恒电流的载流子定向移动需要静电场。Ohm 的实验表明电流强度与电压成正比，即 ，其中电阻为 ，其倒数称为电导 ，而微分形式的 Ohm 定律为 ，其中 为电导。 导体中存在电荷的定向运动，电场对运动的电荷做功且这部分功全部转化为热量，则热功率为 ，上式为适用于纯电阻电路的 Joule 定律，微分形式则为热功率密度 。在经典电子论观点中，电阻与金属发热来源于电子加速过程中与晶格的碰撞散射，然后将部分能量转移到晶格的正离子上并加剧其热运动。如果电流强度与端电压失去了线性关系，如强电场，低气压电离气体和晶体管等器件中，Ohm 定律失效。 (3) 电源及电动势 闭合电流中电荷沿一闭合回路运动一周后，总电势改变量为零，故还需要有电势上升的的路段，因此在稳恒电路中必须存在非静电力作用于电荷，这种装置则称为电源。而在电源内部既有静电力，还有非静电力，使电源内部的电流从负极流向正极，与外电路电流形成闭合的稳恒电流，故全电路的 Ohm 定律为 ，其中 代表电源内部单位正电荷受到的非静电力。电源的非静电力做功为 ，如果不区分电源的内外，则有 。设路端电压为 ，电动势为 ，此时全电路的 Ohm 定律为 。 稳恒电路中，均匀导体内部的宏观电荷为零，外电路中电流线与电场线一致，电源内部的电流密度为 。而稳恒电路中静电场起调节电荷分布和中转能量等作用。 (4) Kirchhoff 定律 对于多个回路的电路难以通过全电路的 Ohm 定律等简单方法求解，此时需要定义节点，支路和回路等概念，则引入 Kirchhoff定律 。Kirchhoff 第一定律的内容为汇合于任一节点处的电流总和为零，而 Kirchhoff 第二定律的内容为任一闭合回路的全部支路的电压代数和为零。具体电路计算中，有支路电流法与回路电流法两种形式。 (5) 稳恒电流和静电场的综合求解 稳恒电流的存在不影响空间电荷的分布，此时的电场仍然是静电场，对于有稳恒电流与静电场的综合求解问题，则基于三个基本方程，首先是电场环路定理 ，其次是稳恒条件 ，然后是 Ohm 定律 。以上三个方程蕴含了稳恒电流场的 Gauss 定理。 |
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